Al hablar de infinitesimales, veo que algunos matemáticos dicen que representa un elemento "extremadamente pequeño", como un área infinitesimal en una variedad.
Lo que me molesta de esta definición ingenua es lo pequeña que se supone que debe ser, por ejemplo, un área infinitesimal para que pueda llamarse infinitesimal.
Creo que hay tres sentidos principales.
El primer sentido (a veces llamado infinitesimales "verdaderos") es cuando se tiene una colección fácilmente identificable de cosas que son no infinitesimal, y algún sentido de comparación de "tamaño". Los infinitesimales son aquellos objetos que son más pequeños que todo no infinitesimal.
Un ejemplo típico es el hiperreales de análisis no estándar un hiperreal infinitesimal es un número cuya magnitud es menor que la magnitud de cada número real (estándar) distinto de cero.
El segundo sentido es un tanto metafórico: hay objetos que representan una noción infinitesimal. Así que, aunque no tengas infinitesimales "verdaderos", puedes utilizar la metáfora para hacer muchas de las cosas para las que querías utilizar infinitesimales de todos modos.
Por ejemplo, la recta real no tiene infinitésimos (no nulos), pero podemos hablar de su haz tangente el conjunto de pares de números reales $(x,y)$ donde $x$ denota un punto de la recta real y $y$ se imagina como la escala de un desplazamiento infinitesimal desde $y$ . Entonces, para hacer cálculos con estos, decimos que si $f$ es una función diferenciable, también la tratamos como una función en el haz tangente, con $f(x,y) = (f(x), f'(x) y)$ .
Este tipo de cosas son muy importantes para la geometría diferencial.
En realidad podemos convertir el haz tangente en una estructura algebraica llamada números dobles de forma similar a como se definen los números complejos: interpretamos un número real $x$ como el punto $(x,0)$ , dejemos que $\epsilon = (0,1)$ . La suma se define de la forma obvia, y la multiplicación estableciendo $\epsilon^2 = 0$ . (en lugar de $i^2 = -1$ como hacemos con los números complejos)
Repitiendo lo anterior, si $f$ es diferenciable, fijamos $f(x + y \epsilon) = f(x) + f'(x) y \epsilon $ . Nótese la atractiva similitud con la noción de "aproximación diferencial".
En este tipo de configuración algebraica, decimos que $\epsilon$ es un "infinitésimo nilpotente" (para distinguirlo de los infinitésimos "verdaderos"). Nilpotente es un adjetivo que significa que se obtiene cero elevándolo a una potencia suficientemente grande.
El tercer sentido es aproximado; "infinitesimal" se utiliza como abreviatura de la idea de ser "aproximadamente infinitesimal", lo que significa que algo es lo suficientemente pequeño para cualquier propósito que se necesite.
En física, la noción de cantidad o área infinitesimal se utiliza de manera extremadamente informal, para indicar aproximadamente cualquier cosa mucho más pequeña que alguna cantidad de referencia dada. Dar una descripción matemáticamente aceptable de lo infinitesimal es una empresa más seria.
"Infinitesimal" significa, formalmente, "Más pequeño que cualquier número ordinario positivo". En la práctica, significa más pequeño que cualquier número positivo que se pueda nombrar explícitamente, como por ejemplo $.1,.01,.001,...$ . Esto parece paradójico, y se tomó históricamente, como en la obra filosófica de Berkeley en el siglo XVIII, para indicar que la noción misma de infinitesimal es incoherente. Aunque estos argumentos tuvieron una influencia significativa en la formalización del tema del análisis a finales del siglo XIX, no fueron la última palabra, ya que Robinson, en la década de 1960, rehabilitó la noción de infinitesimal para devolverla a la respetabilidad matemática. Vagamente, el punto de partida es observar que no hay nada inmediatamente contradictorio en plantear la existencia de un número positivo más pequeño que cualquier (digamos) número racional positivo, y axiomatizar el camino hacia una situación en la que tales números existan realmente. La forma más tradicional de introducir tales números es el estudio de los sistemas numéricos hiperreales. Pero para aplicaciones geométricas, la teoría de la geometría diferencial sintética puede ser más útil.
Los infinitesimales se utilizaron en la génesis del análisis, que en su momento recibió el apropiado nombre de análisis infinitesimal ou cálculo infinitesimal . Los infinitesimales se utilizaron fructíferamente durante varios siglos. Alrededor de 1870, ciertos avances fundacionales llevaron a los matemáticos a desechar los infinitesimales. El lenguaje que utilizaban seguía explotando la terminología intuitiva de los infinitesimales, pero al no tener una contrapartida matemática precisa para ellos, hubo que eliminarlos cuando se formalizaron sus argumentos.
Esto dio lugar a las famosas paráfrasis épsilon-delta, la pesadilla de la mayoría de los estudiantes de matemáticas. En 1961, los infinitesimales recuperaron su respetabilidad gracias a Abraham Robinson pero los viejos hábitos no mueren. El significado preciso de un infinitesimal $\epsilon$ es un número fijo menor que $\frac12$ menos de $\frac13$ menos de $\frac14$ hasta abajo.
Ya que mencionas "manifolds" me gustaría señalar la existencia de una aproximación a la geometría diferencial vía infinitesimales donde se puede hablar naturalmente de elementos de área infinitesimales (en lugar de parafrasear en términos de formas diferenciales); ver esta publicación reciente para más detalles.
¿Por qué no se puede considerar que un infinitésimo es el número que define la distancia entre cero y el punto más cercano a cero en la recta real? Estrictamente hablando, debido a la densidad de los reales, no hay ningún punto más cercano, pero lo que quiero decir es que un infinitesimal podría pensarse probablemente como el tamaño de un punto. Creo que eso es lo que ocurre durante la integración de Riemann: la integral pasa por cada punto, "uno a uno".
Los ingenieros debemos utilizar un concepto práctico de "infinitesimal" porque trabajamos tanto con números muy grandes como muy pequeños. Para nosotros, "infinitesimal" es básicamente lo mismo que "irrelevante", "ignorable" o "existente dentro del límite del ruido estadístico", que solemos definir generalmente como menos del 3% del total. Así, (a) una fracción infinitesimal de 2pF (dos picofaradios) es cualquier cosa inferior a (0,03)*2pF o 60fF (60 femtofaradios) y (b) una fracción infinitesimal de 2MV (dos megavoltios) es (0,03)*2MV o 60KV (60 kilovoltios).
Gracias por añadir la perspectiva de un ingeniero. Pero esto es math.se y la pregunta de la OP es sobre matemáticas.
Bien dicho, pero la ingeniería son matemáticas. Permítanme hacer una pregunta aclaratoria. Si me tomo la molestia de volver a familiarizarme con las matemáticas que hay detrás de la exclusión metaestable en torno a un punto de inflexión, que es de donde procede el 3% generalizado, ¿serviría de algo? ¿O es que a los matemáticos sólo les preocupa una cantidad cero tal que yo pueda seguir dividiendo por ese número y obtener un resultado limitado y racional?
La ingeniería puede utilizar las matemáticas y tiene que hacerlo correctamente, pero no creo que ' es matemáticas '. Como puedes ver más arriba, "infinitesimal" tiene una serie de significados precisos en matemáticas que difieren bastante de "insignificante".
Según mi experiencia, el término infinitesimal suele ser sinónimo de _no Arquimediano_ en comparación con otros elementos de la estructura algebraica (por ejemplo, un campo), de modo que ninguna combinación finita de elementos infinitesimales sea mayor (en valor absoluto) que cualquier elemento no infinitesimal (distinto de cero).
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Relacionado: math.stackexchange.com/questions/1991575/
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Muy, muy, muy pequeño.
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@tparker en realidad, la mitad de eso.
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Infinitesimalmente pequeño.
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En mi opinión, el infinitésimo no es más que una construcción que utilizamos para representar un límite cero. Esto me ayudó a superar la mayoría de las dificultades conceptuales.
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"Suficientemente pequeño"
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Tan pequeño que es un tipo de cosa diferente de las cosas con las que empezaste; los números infinitesimales son tanto una extensión formal de los números reales como los reales lo son de los racionales.
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Más pequeño que cualquier cosa que puedas imaginar, pero mayor que cero. Cuando se habla de infinitesimales, suele ser una forma informal de referirse a los límites.
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Es cero, pero lo que queremos calcular a menudo implica un límite de escala en el que necesitas inflar las cosas a medida que te acercas a cero para encontrar lo que estás buscando.
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Tan pequeño como sea necesario.
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Lo suficientemente pequeño para eludir fantasma -busters.
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Infinitamente pequeño. Tan pequeño como sea lógicamente posible, de modo que siga siendo mayor que cero. En pocas palabras, tan pequeño como un punto de la línea real.
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Siento contradecir lo anterior, pero infinitesimal no es exactamente nada.