¿Por qué isn ' notación de lambda t popular entre los matemáticos?

Question

Yo soy relativamente nuevo en el mundo académico de las matemáticas, pero me he dado cuenta de que la mayoría, si no todos, los libros de texto de matemática de los que he tenido la oportunidad de venir a través de, parecen completamente ajenos a la existencia de notación lambda.

Más específicamente, en un curso de álgebra lineal estoy tomando, me pareció mucho más fácil de entender "de orden superior funcionales" a partir de la segunda doble espacio, poniendo en expresiones lambda. Tiene mucho más sentido para mí para ponerlos en la ordenada, clara notación de las expresiones lambda, en lugar de en varias variables funciones de donde no todos los argumentos son de la misma "clase", como algunos son funcionales lineales y otros vectores. Por ejemplo, considere el isomorfismo canónico - $$A:V \rightarrow V^{**}$$

Por lo general, se expresa en $$Av(f) = f(v)$$ Esta fue una nota que me pareció especialmente difícil de entender al principio, ya que hay varios procesos que tienen lugar "bajo el capó", que se puede poner mucho más claramente, en mi opinión, de esta manera:

$$A = \lambda v \in V. \lambda f \in V^{*}. f(v)$$

Estoy de acuerdo en que esta notación puede llegar a ser tedioso y sobre-explicativos a lo largo del tiempo, sino como una primera introducción del concepto me resulta mucho más fácil, ya que hace muy claro lo que va a donde.

Mi pregunta es, básicamente, ¿por qué no esta generalizado, super popular de notación en el mundo de la informática, no es tan popular en el campo de las matemáticas? O que es, y no soy consciente?

Answer 1

Como Derek ya se dijo, no hay ninguna diferencia esencial entre las funciones de $A\times B \to C$ y las funciones de $A\to (B \to C)$ a través Alarmada (esto también es más abstracta expresada por el universal propiedad de una exponencial que unifica el conjunto teórico-alarmada y alarmada en un tipo de cálculo lambda).

En la notación lado de las cosas, yo personalmente prefiero $x\mapsto f(x)$ $\lambda x. f(x)$y sospecho que muchos otros matemáticos se sienten de la misma (especialmente desde $\lambda$ es usado comúnmente carta).

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EDIT: (ahora que mi respuesta dejado de ser uno, permítanme añadir algo de senderismo que el 29 de personas hasta el momento no upvoted):

Supongo que muchos matemáticos son menos "cómodo" con dichas expresiones como $v\mapsto (f \mapsto f(v))$. Que no sería nada extraordinario, ya que hay varios conceptos que algunos matemáticos sentirse menos cómodo. Aquí hay dos (no relacionados) las cosas que me he encontrado:

• vacío métrica espacios: Algunas personas deliberadamente requieren métrica espacios no-vacío, que es una molestia: dado un espacio métrico $(X,d)$ y $Y\subseteq X$, $(Y,d|_{Y^2})$ es un espacio métrico de nuevo... a menos, claro,$Y=\emptyset$; al parecer no se siente "derecho" de las métricas de los espacios que se vacía
• $f(x)$ en lugar de $f$: Algunas personas se refieren a una función de $f$$f(x)$; esto es (por desgracia) lo que aprendí en la escuela secundaria y es (rein)forzado por la notación como $\frac{d f(x)}{d x}$ $\int f(x) \,dx$

Aunque, su ejemplo:

Deje $A : V\to V^{**}$ tal que $Av(f) = f(v)$ todos los $v\in V$ $f\in V^*$

está muy bien y no es difícil de entender, en mi opinión. Para cada $v\in V$ tenemos $Av\in V^{**}$, es decir,$Av : V^* \to \mathbb K$. De ahí que podamos conectar un $f\in V^*$ conseguir $f(v) \in \mathbb{K}$. Si el autor piensa que es fácil de entender y está más acostumbrado a que $v\mapsto (f \mapsto f(v))$, que sería, obviamente, no tienen ningún motivo para cambiar la notación.

Así que la razón por la $v\mapsto (f\mapsto f(v))$ (o una variante del mismo) no se usa mucho es probablemente: "no estoy acostumbrado a este tipo de notación y estoy muy feliz con los míos".

Por cierto, mi personal favorito es también no: $$A : V \to V^{**}, v \mapsto (f\mapsto f(v))$$ pero $$A : V\to V^{**}, v\mapsto \_(v)$$ where it is implied that $\_$ is a placeholder, i.e. $\_(v) : V^* \to \mathbb{K}, f\a f(v)$.

Answer 2

Cálculo Lambda está relacionado con ciencias de la computación a través de y a través de. Citando a Wikipedia:

Cálculo Lambda (también escrito como λ-cálculo) es un sistema formal en la lógica matemática para expresar la computación basada en la función de la abstracción y la aplicación utilizando la variable de unión y de sustitución.

Destaca la mía. Aquí, "cálculo", "aplicación" y "sustitución" están muy bien definidas las operaciones en los símbolos como se entiende en la CS. Que es, literalmente, lo lambda cálculo es sobre todo, para comenzar con: la razón acerca de la sustitución de los símbolos, en los lenguajes formales.

Procesos como la Alarmada están ahí porque tienen relativamente aplicaciones prácticas - por ejemplo, hacen el razonamiento abstracto más fácil (por la reducción de todas las lambdas con múltiples argumentos a los que con solo argumentos). La "Meta" a temas como el perezoso evalation, escribir, rigidez, etc. todo puede ser explorado en el contexto de cálculo lambda y tienen poco impacto en la general de fórmulas matemáticas. Para el CS, es importante ser super exacto con estas cosas, como las computadoras, básicamente, son máquinas para la manipulación de símbolos.

Así, las lambdas tiene el uso de la computación teórica lingüista / científico de la computación / lgica; en la superficie, que probablemente podría utilizar la notación para las matemáticas generales, pero muchas de las avanzadas de los "beneficios" no transferencia (o al menos no de una manera provechosa). En la mayoría de las partes de las matemáticas, especialmente la matemática aplicada (física...), la cuestión de cómo exactamente a "aplicar" y "sustituto" de las variables es de cristal transparente y de poco interés para nadie -, a menudo es bastante habitual para saltar a escribir las variables vinculadas completamente.

Ah, y la otra respuesta: la gente sólo se utilizan para la habitual representación. Un montón de aspectos matemáticos tienden a tener sus propias notaciones para bastante cosas similares. Es como es.