$\pi = 0$! Puede ' ser t!

Question

Tenga en cuenta: todavía estoy en la secundaria así que perdona mi pobre matemáticas. También recuerde que estoy en la secundaria así que nada de complejo

Me gusta meterse con ecuaciones y me parece muy fascinante, los resultados de alguna manera se puede venir para arriba con. Recientemente, me encontré con la Identidad de Euler y comenzó a tener un lío con esto. De alguna manera me puede hasta con el siguiente resultado: $π = 0.$ me dije a mí mismo, como a cualquiera de nosotros, ¿cómo es esto posible?

Entonces me decidí a mostrar mi prueba a mi profesora de matemáticas y mis padres y ninguno podía mostrar a mí se me salió mal así que estaba esperando que alguien de aquí podría.

Podría alguien correcta el formato? No tengo idea de cómo.

Esta es mi prueba:

$$e^{iπ} + 1 = 0$$ $$e^{iπ} = -1$$ $$e^{2iπ} = 1$$ $$2iπ = \ln(1) = 0$$ $$4\times-1\timesπ = 0$$ $$-4π^2 = 0$$ $$0 = 4π^2$$ $$0 = 2π$$ $$0 = π$$

¿Alguien sabe donde me ha ido mal (si tengo)?

Editar

Como he señalado anteriormente, mis conocimientos de matemáticas no es que la avanzada, en comparación con las personas en este sitio. Por lo tanto la respuesta(s) acepto y/o upvote se basará en el grado de comprensión así como lo bien que responder a la pregunta.

Answer 1

Si $x$ y $y$ son reales, entonces implica de $e^x=e^y$ $x=y$.

Pero si $x$ y $y$ son complejos, $e^x=e^y$ sólo implica que %#% $ #%

Por lo tanto, de $$\frac{x-y}{2\pi i}\in\Bbb Z$ no podemos deducir que $e^{2\pi i}=e^0$.

Answer 2

$e^z = e^w$ no implica que el $z = w$; la función exponencial no es uno a uno en ${\mathbb C}$. En cambio, implica que el $z - w = 2 \pi i n$ $n \in {\mathbb Z}$. Por lo tanto, la cuarta igualdad de 'prueba' no sigue de la tercera igualdad.

Answer 3

El problema es simple. Tenga en cuenta que si el $0=\log(1)=\log(e^{2\pi I})=2\pi i$ que el logaritmo no es ninguna asignación. Canónicamente, dar una solución a este tipo de ecuaciones mediante la restricción a la rama principal del logaritmo complejo.

Answer 4

El $log(z)$ $ln(z)$ es un conjunto no un valor.

Denota todas las $z' \in \mathbb{C}$ tal que $e^{z'} = z$

Lo que quieres es el $Log(z)$ $arg(Log(z)) \in [0,2\pi)$ o $(-\pi,\pi)$. Depende de cómo definirla.

Como otro dijo ya es un poco más difícil en $\mathbb{C}$.

Answer 5

"2iπ = ln (1) = 0"

En números complejos $\ln$ no es valor único sino una "función" multi-valued. Así $\ln 1$ no exactamente igual $0$. Es el conjunto de $\{2k\pi i\}$ de que $0$ es el valor real sólo en el conjunto.

Esto es porque $e^{a + bi} = e^a(\cos b + i\sin b)$ y funciones trigonométricas son periódicas para que $z= e^{a + bi} = e^{a +bi + i2k\pi}$ no es más una función 1-1. Así $\ln z = \{a + i(b + i2k\pi)| k \in \mathbb Z\}$ tiene varios valores.

Así que a partir de ahí podemos concluir solamente que $0 = i 2k\pi$ para un valor de entero de $k$. Lo que hace. ... id $k = 0$.