¿Todas las matrices cuadradas tienen vectores propios?

Question

Me encontré con una clase en vídeo en la que el profesor afirmaba que puede o no haber ningún vector propio para una transformación lineal dada.

Pero antes pensaba que toda matriz cuadrada tiene vectores propios.

Answer 1

Depende del campo en el que trabajemos. Por ejemplo, el real matriz

$$A=\begin{pmatrix}0&\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}$$

no tiene ningún valor propio (es decir, sobre $\;\Bbb R\;$ ), pero la misma matriz definida sobre el campo complejo $\;\Bbb C\;$ tiene dos valores propios: $\;\pm i\;$

Answer 2

En un campo algebraicamente cerrado, toda matriz cuadrada tiene un valor propio. Por ejemplo, toda matriz compleja tiene un valor propio. Toda matriz real tiene un valor propio, pero puede ser compleja.

De hecho, un campo $K$ es algebraicamente cerrada si toda matriz con entradas en $K$ tiene un valor propio. Se puede utilizar el matriz de acompañamiento para probar una dirección. En particular, la existencia de valores propios para matrices complejas es equivalente al teorema fundamental del álgebra.

Answer 3

No, pero puedes construir algunos.

Una matriz en un campo determinado (o incluso en un anillo conmutativo) puede tener o no vectores propios. Tiene vectores propios si y sólo si tiene valores propios, por definición. El sitio web Teorema de Cayley-Hamilton proporciona una fácil caracterización de si una matriz tiene valores propios: los valores propios son exactamente las raíces de la polinomio característico . Así, una matriz tiene vectores propios si y sólo si el polinomio característico tiene al menos una raíz. Por ejemplo, la siguiente matriz sobre $\mathbb{R}$ no tiene vectores propios, porque su polinomio característico $X^2+1$ no tiene una raíz real: $$ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} $$ Se trata de una matriz de rotación: representa una transformación plana que transforma cualquier vector en un vector que forma un ángulo específico con el original (un ángulo recto, en este caso), y en particular el resultado no puede ser paralelo al original.

Por tanto, es posible que una matriz no tenga ningún vector propio. Sin embargo, dada una matriz sobre un campo, es posible construir un campo mayor en el que la matriz tenga vectores propios. Cualquier campo de extensión en el que el polinomio característico tenga al menos una raíz. En particular, en un campo algebraicamente cerrado como $\mathbb{C}$ Toda matriz tiene al menos un valor propio y, por tanto, tiene vectores propios. Por ejemplo, la matriz anterior, cuando se toma como una matriz sobre $\mathbb{C}$ tiene los valores propios $i$ y $-i$ y vectores propios de la forma $\{(\pm i z,z) \mid z\in\mathbb{C}\}$ .

Answer 4

Echa un vistazo a la matriz $$A=\begin{bmatrix}0 &1\\-1 & 0\end{bmatrix}.$$

Esta matriz tiene un polinimio característico de $p(\lambda) = \lambda^2 + 1$ , lo que significa que para los verdaderos $\lambda$ cada matriz $A-\lambda I$ tiene rango $2$ por lo que la matriz no tiene vectores propios.

Answer 5

He aquí algunos casos de endomorfismos de un espacio vectorial que no tienen ningún vector propio. (Nótese que una transformación lineal tiene que ser de un espacio a sí mismo, es decir, un endomorfismo de un espacio vectorial, para que la noción de valor propio pueda ser definida. Obsérvese también que "transformación lineal" implica trabajar sobre un campo determinado $~K$ que no se puede extender a voluntad, a diferencia del caso de las matrices que se pueden interpretar sobre cualquier anillo que contenga sus entradas).

• El operador de desplazamiento a la izquierda $\def\N{{\mathbf N}}(a_i)_{i\in\N}\mapsto(a_{i+1})_{i\in\N}$ en el $2$ -dimensional $\def\Q{{\mathbf Q}}~\Q$ espacio vectorial de secuencias en $\Q^\N$ que satisfacen la recurrencia de Fibonacci $a_{i+2}=a_i+a_{i+1}$ . (Aquí los vectores propios sí existen para el correspondiente endomorfismo del espacio de secuencias de números reales correspondiente).

• Rotación alrededor de un ángulo $\def\Z{{\mathbf Z}}\alpha\notin\pi\Z$ en un $2$ -espacio euclidiano. (Aquí el polinomio característico sólo tiene raíces complejas, que no dan vectores propios en este $\def\R{{\mathbf R}}\R$ espacio vectorial).

• Multiplicación por algún polinomio fijo no constante en $K[X]$ o por alguna serie fija no constante en $K[[X]]$ para cualquier campo $K$ . (Aquí la dimensión infinita es el aspecto esencial).

• El único endomorfismo lineal de cualquier $0$ -dimensional $K$ -espacio vectorial.