Cuántos factores de $2^{95}$ están mayores que $10^6$

Question

El título lo dice todo.

Mi problema: Puedo solucionar esto utilizando logaritmos pero el problema debe resolverse por métodos de combinatoria que no puedo ver cómo aplicarlas en este tipo de problemas.

Answer 1

Sugerencia:-utilizar el hecho de que todos los factores de $2^{95}$ es de la forma $2^n$. Para resolver su problema encontrar todos $2^n$ mayor de $10^6$.

Answer 2

Recordemos que $10^3=1000 < 1024 =2^{10}$.

So, $2^{20} > 10^6$.

Ahora, ya que es $10^3$ $2^{10}$, probablemente $2^{19} < 10^6$. (De hecho, $2^{19}=524288$. O argumentan que $2^{20} < 2\cdot 10^6$ por $1024=1000+24$.) escuadra

Así, $2^m > 10^6$iff $m \ge 20$.

Agregando la restricción $m\le 95$ da $95-20+1=76$ posibles factores.

Answer 3

Queremos encontrar cuántos enteros $1 \le m \le 95$ existe tal que

$$2^{m} > 10^6 = 2^6\cdot5^6$$ $$2^{m - 6} > 5^6$$

que simplifica el problema un poco, ya que es más fácil de calcular menos de $2$ que es mayor que $5^6$ en comparación con la de $10^6$.

Desde $2^{14} = 16384 > 15625 = 5^6$, cada $15 \le m - 6 \le 95 - 6$ satisface la condición.