Interpretación geométrica y cómputo del paquete Normal

Question

Mi pregunta se refieren a la definición, sentido geométrico, y el uso de la normal de paquete en la geometría algebraica.

Deje $X$ ser un nonsingular variedad, más de un algebraicamente cerrado campo de $k$, e $Y\subseteq X$ un nonsingular subvariedad cerrada. Deje $\mathcal{I}$ ser la gavilla de los ideales definidos por la cerrada de la incrustación de $i: Y \hookrightarrow X$, y considerar la gavilla $\mathcal{C}_{Y/X}=: \mathcal{I}/\mathcal{I}^{2}$. Definimos el normal gavilla de $Y$$X$$\mathcal{N}_{Y/X}=:\mathsf{Hom}(\mathcal{C}_{Y/X},\mathcal{O}_{Y})$.

Esta definición se puede encontrar en Hartshorne la "Geometría Algebraica". Recientemente me encontré con algunos ejemplos concretos de la normal de paquetes que no puedo entender.

$\mathbf{(1)}$ Deje $C$ ser un nonsingular curva de grado $2$ y género $0$$\mathbb{P}^{3}_{k}$. con $k$ un algebraicamente cerrado de campo. Se puede probar que para cualquier curva, existe una quadric $Q$ $\mathbb{P}^{3}_{k}$ tal que $C$ se encuentra en $Q$. A continuación,$\mathcal{N}_{C/Q}=\mathcal{O}_{C}(1)$, e $\mathcal{N}_{S}|_{C}=\mathcal{O}_{C}(2)$.

$\mathbf{(2)}$ Deje $X$ un nonsingular irreductible cúbicos de superficie en $\mathbb{P}^{3}_{k}$, $k$ un algebraicamente cerrado de campo. Deje $H$ el hyperplane sección de $X$. Se puede probar que existe una nonsingualr irreductible de la curva de $C\in |4H+2L|$ grado $14$ y género $24$, para una línea de $L$$X$. A continuación,$\mathcal{N}_{C/X}=\mathcal{O}_{C}(C)$, e $\mathcal{N}_{X}=\mathcal{O}_{X}(3)$.

El significado geométrico de la torsión de gavilla, y el grupo de Picard de la construcción es muy clara para mí. No entiendo cómo puede normales poleas ser computada en los ejemplos presentados anteriormente. Sin embargo, en lugar de centrarse en los dos casos, me gustaría entender la naturaleza de la normal gavilla - es decir, ¿qué dice acerca de las variedades? Es allí una manera más ágil definición? Cómo hacer normal poleas se refieren a la torsión de las poleas? ¿Cómo se calcula? Estoy mosty interesado en el caso de regular projecive esquemas de baja dimensión, a través de una algebraicamente cerrado de campo. Ejemplos sencillos son también bienvenidos.

Answer 1

Primero de todo, una advertencia (a mí mismo en primer lugar, porque yo uso confundirse). La gavilla $I/I^2$ es una gavilla en $X$. Esto es no la conormal gavilla. Por supuesto, es compatible con $Y$, pero el conormal gavilla es la gavilla $i^\ast(I/I^2)$, y esto es realmente en $Y$. Dicho esto, voy a escribir $I/I^2$ en lugar de $i^\ast(I/I^2)$.

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Ejemplo. Permítanos calcular el paquete normal de un avión cónica $C\subset\mathbb P^2$. El ideal de la cónica es $I=\mathscr O_{\mathbb P^2}(-2)$, lo $$I/I^2=I|_C=\mathscr O_{\mathbb P^2}(-2)|_C=\mathscr O_{C}(-2)\,\Rightarrow\,\mathcal N_{C/\mathbb P^2}=\mathscr O_C(2).$$ Tenga en cuenta que esta línea bundle tiene en realidad un $5$-espacio de dimensiones de las secciones, como $$\mathscr O_C(2)\cong \mathscr O_{\mathbb P^1}(4).$$

Este "$5$" es la dimensión del esquema de Hilbert de avión cónicas, que es el espacio liso $\mathbb P^5$. En realidad, el espacio vectorial $H^0(C,\mathcal N_{C/\mathbb P^2})$ calcula el espacio de la tangente de esta $\mathbb P^5$$[C]$, y el segundo es el espacio de deformaciones de la cónica en el plano.

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Esta es la razón por la que pienso que es útil tener en mente la siguiente asociación: $$\textrm{(Sections of the) Normal bundle }\mathcal N_{Y/X}\,\,\longleftrightarrow\,\,\textrm{Deformations of } Y\textrm{ inside }X.$$ Voy a tratar de explicar por qué, antes de llegar a sus ejemplos.

En el caso de que te interese, es decir, que con $Y$ $X$ a la vez suave, hay una secuencia exacta (llamado el conormal secuencia exacta): $$0\to I/I^2\to \Omega_X|_Y\to \Omega_Y\to 0.$$ De tomar el doble, nos encontramos con $$0 \to T_Y\to T_X|_Y\to \mathcal N_{Y/X}\to 0.$$ El paquete normal aparece como cokernel del mapa que identifica a un vector tangente en $Y$ con un vector tangente en $X$, restringido a $Y$: aquellos en los cokernel son vectores tangente restringida de $X$, hasta los que vienen de $Y$. No puedo sacar las fotos aquí, pero la idea es que una sección de la normal de paquete debe ser el dato de una familia de vectores ortogonales (normal!) a la tangente de los espacios, y estos vectores normales sorteo de una "cercanas $Y$" dentro de $X$, es decir, una deformación de $Y$ dentro $X$. Los ceros de una sección deben ser entonces los puntos de $y\in Y$ donde el vector fue el vector cero: particular $y$ no contribuyen a la deformación. Formalmente, si $H$ es el esquema de Hilbert de $X$, usted tiene $$H^0(Y,\mathcal N_{Y/X})=T_{[Y]}H=\{\textrm{Deformations of }Y\textrm{ in }X\}.$$

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Ahora por sus ejemplos.

1. El hecho de que $\mathcal N_{S/\mathbb P^3}|_C=\mathscr O_C(2)$ es exactamente igual que para la cónica: $\mathcal N_{S/\mathbb P^3}=\mathscr O_S(2)$. El hecho de que $\mathcal N_{C/Q}=\mathscr O_C(1)$ es porque tal curva se obtiene como hperplane sección de $Q$, por lo que la línea de paquete de $\mathcal N_{C/Q}$ tienen un grado $1$$C$.
2. El hecho de que $\mathcal N_{X/\mathbb P^3}=\mathscr O_X(3)$ es de nuevo idéntico al caso de la cónica, en el principio. Como para $\mathcal N_{C/X}=\mathscr O_C(C)$, es algo más general que pasa (así que usted puede olvidarse de esta situación especial): si $Y\subset X$ es un buen divisor, su ideal es $I=\mathscr O_X(-Y)$, lo $$\mathcal N_{Y/X}=(I/I^2)^\vee=(\mathscr O_X(-Y)|_Y)^\vee=(\mathscr O_Y(-Y))^\vee=\mathscr O_Y(Y).$$

Answer 2

Paquete normal es O_C(C) ver 2.9 aquí: http://math.mit.edu/~mckernan/Teaching/07-08/Autumn/18.735/l_2.pdf
En algunos casos, usar el dual a la secuencia exacta haz tangente a computarlo (es decir, la secuencia exacta en Hartshorne capítulo II.8)