Tratando de comprender la suma de ordinales

Question

Estoy teniendo dificultades con las funciones definidas por inducción del transfinite, en particular tengo la suma de dos números ordinales definidos como sigue:\begin{align}\alpha+0&=\alpha \\ \alpha+s(\beta)&=s(\alpha+\beta)\\ \alpha+\beta&=\sup_{\gamma<\beta}(\alpha+\gamma)\quad \mbox{(if %#%#% is a limit ordinal)} \end {Alinee el}

¿He dado cuenta de eso si $\beta$ y $\alpha<\omega$ y me parece que si reemplazar $\alpha + \omega =\omega$ por cualquier otro ordinal contable límite esa afirmación todavía mantiene, es este derecho? ¿Y puede ser generalizado para cualquier ordinal del límite?

Me siento todavía no ha podido comprender la intuición detrás de él.

Answer 1

Edit: Hay una divertida generalización de todo esto en la parte inferior.

Un ordinal determina un pedido. El orden corresponde a la suma de dos números ordinales es "el primero de un pedido como este, seguido por un orden como el que uno".

Así por ejemplo, el ordinal $3$ corresponde a las tres cosas en una fila: $xxx$ .

Y $\omega$ corresponde a una secuencia infinita: $xxxxxx\dots$ .

Si usted toma tres cosas en una fila y siguen en una secuencia infinita de obtener una secuencia infinita: $$xxx,xxx\dots = xxx\dots$$So $3+\omega=\omega$.

Si $n<\omega$ $n+\alpha=\alpha$ para cualquier infinita ordinal $\alpha$, nada que ver con si es un ordinal límite. Debido a $\alpha$ comienza con una secuencia infinita, entonces tal vez tiene más añadido en la que la secuencia se come al $n$, como en el ejemplo $3+\omega=\omega$ por encima.

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Divertido Generalización. Para $n<\omega$ definir $\alpha n=\alpha+\dots+\alpha$. Definir $\alpha\omega=\bigcup_{n<\omega}\alpha n.$

Teorema Suponga $\alpha$ $\beta$ son ordinales. Tenemos $\alpha+\beta=\beta$ si y sólo si $\alpha+\beta$ es obviamente igual a $\beta$.

O un poco más explícitamente,

Teorema Dados dos números ordinales $\alpha$$\beta$, $\alpha+\beta=\beta$ si y sólo si $\beta\ge\alpha\omega$.

Prueba: Si $\alpha+\beta=\beta$$\alpha n+\beta=\beta$, y, por tanto,$\beta\ge\alpha n$, para cada $n<\omega$. Por lo tanto $\beta\ge\alpha\omega$.

Otoh si $\beta\ge\alpha\omega$$\beta=\alpha\omega+\gamma$, por lo tanto $\alpha+\beta=\beta$.

Answer 2

La intuición es en realidad un poco más sencilla que la definición recursiva. Para cualquier lineal órdenes de $\langle A,\le_A\rangle$$\langle B,\le_B\rangle$, no necesariamente bien los pedidos, podemos definir un orden lineal que es su suma: el conjunto subyacente es $(\{0\}\times A)\cup(\{1\}\times B)$, y la orden de $\le$ es lexicográfica: $\langle i,x\rangle\le\langle j,y\rangle$ fib bien $i<j$ o $i=j=0$ $x\le_A y$ o$i=j=1$$x\le_B y$. Esencialmente sólo estamos poniendo a $B$ con un determinado orden lineal después de $A$ con su orden lineal:

$$\overset{A}\longrightarrow\overset{B}\Longrightarrow\;.$$

El bit con el $0$ $1$ es un detalle técnico para asegurarse de que estamos trabajando con distintos conjuntos; es innecesario si $A$ $B$ son disjuntas.

En el caso de los ordinales $\alpha$$\beta$, podemos formar una suma que solo esta de moda: el conjunto subyacente es $(\{0\}\times\alpha)\cup(\{1\}\times\beta)$, y tenemos $\langle i,\xi\rangle\le\langle j,\eta\rangle$ fib $i<j$ o$i=j$$\xi\le \eta$. No es difícil comprobar que este fin de $\le$ es un bien de orden, por lo que es de orden-isomorfo a un ordinal $\gamma$, y escribimos $\alpha+\beta=\gamma$. Intuitivamente, $\gamma$ es el ordinal cuyo tipo de orden que se obtiene por pegar una copia de $\beta$ después de una copia de $\alpha$.

Que valdría la pena tratar de demostrar a sí mismo que este enfoque más intuitivo, produce el mismo resultado que la definición recursiva.

Al $\alpha$ es finito y $\beta$ no es, $\alpha$ junto con la primera $\omega$ elementos de $\beta$ aún forman una sola copia de $\omega$, por lo que - como se dijo - en este caso $\alpha+\beta=\beta$. Esto se puede generalizar, pero requiere un poco de atención. Deje $\alpha_0=\alpha$. Dado $\alpha_n$ algunos $n\in\omega$, vamos a $\alpha_{n+1}=\alpha_n+\alpha$. Por último, vamos a $\eta=\sup_n\alpha_n$. (De hecho,$\eta=\alpha\cdot\omega$, que la multiplicación es una variable ordinal de la multiplicación.) A continuación, $\alpha+\beta=\beta$ siempre $\beta\ge\eta$, debido a que uno de los más $\alpha$ sólo se absorbe en el inicial $\eta$ parte de a $\beta$.

Answer 3

Tal vez usted puede comprender mejor si se compara con una definición directa: la suma de $\alpha$ $\beta$ es el único ordinal isomorfo al ordenado conjunto de $\alpha \coprod \beta$ dado la orden el se extiende de $\alpha$ y $\beta$ y tal que cada elemento de $\alpha$ es estrictamente inferior a cualquier elemento de $\beta$ (así es como ponen una copia de $\alpha$ junto a una copia de $\beta$).

Answer 4

Sí, es el caso que si $\alpha < \omega$,$\alpha + \omega = \omega$, y lo mismo para otras contables límite ordinales $\beta$ que $\alpha + \beta = \beta$.

Una forma de pensar de este que puede ser más intuitivo que la definición que se da es que el ordinal suma $\alpha + \beta$ es el tipo de orden que se obtiene al `pegar una copia de $\beta$ después $\alpha$".

Formalmente, si definimos el conjunto de $$ S_{\alpha, \beta} = \{(0, i) \mid i < \alpha\} \cup \{(1, j) \mid j < \beta\}, $$

y el fin de $S_{\alpha, \beta}$ lexicográficamente, a continuación, $\alpha + \beta$ es exactamente el tipo de orden de $S_{\alpha, \beta}$, lo que nos puede demostrar por inducción transfinita en $\beta$:

Si $\beta = 0$,$S_{\alpha, \beta} = \{(0, i) \mid i < \alpha\}$, que ha pedido el tipo de $\alpha$, como lo muestra el mapa de $(0, i) \mapsto i$.

Si $\beta = s(\gamma)$,$S_{\alpha, \beta} = S_{\alpha, \gamma} \cup \{(1, \gamma)\}$, que tiene orden de tipo igual a ${\rm ot}(S_{\alpha, \gamma}) + 1$, lo que, por inducción, es, precisamente,$\alpha + \gamma + 1 = s(\alpha + \gamma)$.

Si $\beta$ es el límite, entonces se nos tenga en cuenta que $S_{\alpha, \beta} = \bigcup\limits_{\gamma < \beta} S_{\alpha, \gamma}$, y puesto que el $S_{\alpha, \gamma}$ están anidados y en aumento, tenemos fácilmente que ${\rm ot}(S_{\alpha, \beta}) > {\rm ot}(S_{\alpha, \gamma})$ todos los $\gamma < \beta$.

Por lo tanto, sigue siendo para mostrar que esta es la menor cota superior de. Pero si $\delta < {\rm ot}(S_{\alpha, \beta})$, entonces hay algunas $\gamma$ tal que $\delta < {\rm ot}(S_{\alpha, \gamma})$, y así tenemos que ${\rm ot}(S_{\alpha, \beta}) = \alpha + \beta$.