¿Cuando decimos que el área de un rectángulo es el producto de la longitud por la anchura es una definición basada en la intuición geométrica o es un resultado? ¿Sé que es un resultado que podemos encontrar tras definir integrales pero antes de que esto era una definición?
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ciberandy
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No tengo idea de cómo la definición de la zona de origen, pero aquí está mi opinión sobre todo. Casi ninguno de la historia a continuación es verdadera (es decir, si usted elige una sección de la historia al azar, será un error con una probabilidad de $1$).
Desde muy temprano, la gente se dio cuenta de que era imposible para rellenar un área con una línea de longitud finita, de modo que el concepto de área fue inventado. Área no tenía ninguna relación con la longitud, por lo que las áreas se define únicamente en términos de otras áreas. La gente se dio cuenta de que usted podría poner dos congruente con el ángulo recto triángulos isósceles juntos para hacer un cuadrado, por lo que dijo que la plaza tenía dos veces el área de cada uno de los triángulos. La gente también notó el interesante hecho de que usted podría tomar un rectángulo con lados de entero de la longitud de $a$ $b$ y llenarlo con $a \times b$ sqares de lado de longitud $1$, por lo que dijo el rectángulo del área de se $ab$ veces mayor que la de la plaza.
También se dio cuenta de que podría dividir el rectángulo en dos triángulos rectángulos, que tenía la misma zona, como podría girar uno para ponerlo en la parte superior de la otra (la noción de que la zona es invariante bajo de rotación de las matrices y de traducción de los mapas está implícito aquí, pero nadie se dio cuenta), por lo que dijo que los triángulos había zonas que se $\frac{ab}{2}$ veces mayor que la del cuadrado de lado de longitud $1$.
Ellos también notaron que cualquier triángulo con base $b$ y la altura de la $h$ podría ser dividido en dos triángulos rectángulos, uno con no hipotenusa lados de longitud $c$$h$, y uno con lados de longitud $d$$h$, de tal manera que $c+d=b$. De modo que el área total del triángulo se $\frac{ch}{2}+\frac{dh}{2}=\frac{bh}{2}$ veces mayor que la del cuadrado de lado de longitud $1$.
Alentado por estos descubrimientos, nuestro ficción de principios de los geómetras casi sin darse cuenta comenzó a caer en el 'times que el cuadrado de lado de longitud $1$' y adoptar el área del cuadrado de lado de longitud $1$ como la unidad básica de medición. De modo que la plaza tenía área de $1$, un rectángulo con lados de longitud $a$ $b$ habían área de $ab$ y un triángulo con base $b$ y la altura de la $h$ habían área de $\frac{bh}{2}$.
Los geómetras rápidamente se dio cuenta de que ellos no tienen que limitarse a los polígonos con entero de longitudes de los lados. La mayoría de ellos no eran conscientes de la existencia de los números irracionales, y se dio cuenta de que podía dividir sus cuadrado de lado de longitud $1$ en un cuadrado de lado de longitud $\frac{1}{\textrm{the lowest common denominator of all side lengths involved in the question}}$, que se usa para mostrar que cualquier rectángulo con lados de longitud $a$ $b$ habían área de $ab$, o si no $a$ $b$ estaban enteros. Los resultados correspondientes de triángulos seguir fácilmente.
Los geómetras se por ahora insaciable - se mueve fuera de la estrictamente riguroso mundo de los polígonos, que, después de todo, acaba de ser dividido en triángulos y adoptado nuevos métodos que involucran infinitesimalmente pequeños triángulos para demostrar que el área de un círculo de radio $r$$\pi r^2$. Otro importante desarrollo en alrededor de esa época fue el descubrimiento, aplicando el teorema de Pitágoras en la diagonal de un cuadrado, de los números irracionales. Los matemáticos de acuerdo en que el área de un rectángulo con lados de longitud $a$ $b$ donde $a$ $b$ eran irracionales, todavía estaba $ab$, e incluso fueron capaces de demostrar esto en casos especiales. Por ejemplo, se demostró que un $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ plaza tenía área de $2$ poniendo unidad de cuatro plazas juntos para hacer un gran cuadrado de lado de longitud $2$ y el área de $4$, y uniendo los puntos medios de los lados de la gran plaza, para crear un cuadrado de lado de longitud $\sqrt{2}$ que tenía exactamente la mitad de la superficie - es decir, $2$.
Los geómetras no fueron capaces de resolver ciertos problemas, sin embargo. Uno particularmente importante fue el problema de la construcción - usando la regla y el compás - un cuadrado con área igual a la de un círculo. Ahora sabemos que esto es imposible, pero este problema se celebró hasta el estudio de la zona hasta el final de la edad de oro de los Griegos y de los Romanos.
No hay avances significativos tuvo lugar en la geometría hasta Descartes introdujo su sistema de coordenadas, y la geometría podría ser formulada en términos de álgebra. Hubo un par de problemas con esta - por ejemplo, es fácil dar cuatro coordenadas que definen una unidad de la plaza, pero menos fácil dar las coordenadas de la plaza cuando se rota a través de $30^{\circ}$ sobre el punto de $(3,-2)$! Para dar la vuelta a este problema, conceptos tales como matrices fueron introducidas, y se ha demostrado que el área de una forma sujeta a transformación es igual a su área original multiplicado por el determinante de esa traducción. Los mapas que se conserva de la zona fueron los que el determinante de a $\pm 1$; es decir, la rotación y reflexión de las matrices. Las técnicas utilizadas para ello no fueron rigurosos para el estándar de la moderna geometría algebraica, pero ellos todavía eran correctos - es manifiestamente obvio que la rotación de una forma que deja su área constante - la única duda en la matemática que se utiliza para describir la zona de la plaza.
No fue hasta la noción de un área integral han sido definidas y, a continuación, redefinido para que se rigurosa - que una verdad formal de la definición matemática de la zona llegó. Se decidió rápidamente que la única forma en la que verdaderamente sabía que el área de un rectángulo - tuvo una área igual al producto de las longitudes de sus lados y la definición de la integral y su desarrollo posterior en el área de teoría de la deriva de la idea de que todas las formas podría ser considerado como siendo aproximadamente construido a partir de una colección de pequeños rectángulos - de tal manera que pudiéramos hacer las aproximaciones tan bueno como nos gustó, y la definición actual de un área que se llegó a. El uso de la nueva teoría, fue posible evaluar cosas como el área de un círculo con rigor - no por dividirlo en triángulos como los antiguos lo había hecho, pero siempre, siempre en rectángulos.
¿Por qué fue el rectángulo elegido? Era sólo la forma con la simple fórmula del área.
En definitiva, queremos una definición de área que cumpla con las siguientes reglas:
El área es siempre no negativo.
La zona es invariante bajo rotaciones, reflexiones y traslaciones.
Si una forma es la unión de otras dos formas, entonces su área es la suma de las áreas de las dos formas.
Si una forma de $A$ está contenida dentro de otra forma $B$,$\textrm{area of } A \le \textrm{area of } B$.
El área de la nada es $0$.
El área de un cuadrado es la unidad de $1$.
Estas reglas no parecen ser demasiado restrictiva, pero en realidad resulta que una definición de área no puede existir, aunque es imposible, dada una definición de área, para venir para arriba con una explícita de la región que viole cualquiera de las reglas - solo es una manera de construir una región usando el Axioma de Elección. Para todos los 'nice' (Lebesgue medibles) las formas, sin embargo, el estándar de Lebesgue la integral que funciona bien para una definición de área.
Así que... para responder a su pregunta, diciendo que un rectángulo con lados de longitud $a$ $b$ área $ab$ es una definición, basada en lo que una vez fueron los resultados. Todos los otros teoremas acerca de la zona - incluyendo las áreas de los triángulos y los círculos y la invariancia de área bajo la rotación son ahora clasificado como resultados de esa definición, si son intuitivos o no. Todo es parte de la búsqueda de una rigurosa base para la geometría algebraica.
sunseeker
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Es una definición basada en un intution geométrica. La intuición básica detrás del área de un rectángulo (o hipercubo su realmente lo mismo) es como lhf dice la plaza con longitud de 1, tiene uno y cuando escala por dice k, un lado de un rectángulo que escalar su área por k. Estos supuestos solos (junto con una noción de la orientación que permite ampliar por números negativos) definen una noción única del área. Ver la construcción de la determinante para una prueba rigurosa.
