¿Son inyectivo Omega-espectros los objetos S-local de espectros simétricos para un clase S?

Question

Estoy tratando de leer el Hovey-Shipley-Smith artículo como definir el modelo estable de la estructura simétrica de los espectros como una izquierda Bousfield localización (como se explica en nLab) de la proyectiva modelo de nivel de estructura simétrica de los espectros, que tiene nivel de equivalencias como la debilidad de equivalencias.

Casi todos los ingredientes que hay en el artículo. Lo único que me queda es mostrar que la inyectiva Omega-espectros son de hecho el S-objetos locales, donde S es la clase de estabilidad de equivalencias. Por definición cualquier mapa en S induce un débil equivalencia de simplicial hom-conjuntos de $Map_{Sp^\Sigma}(f,E)$ E inyectiva Omega-espectro. Por el contrario, lema 3.1.5 y ejemplo 3.1.10 conspiran para decirle que si un simétrica espectro es S-locales e inyectiva, es un Omega-espectro. Así, lo que sigue: es cualquier S-local simétrica espectro inyectiva?

Answer 1

Usted tiene que darse cuenta de que ha sido un largo tiempo desde que escribí ese papel. Pero yo voy a dar mi mejor esfuerzo.

Creo que escogió intencionalmente la inyectiva Omega-espectros porque son "extra fibrant", por así decirlo. Es decir, creo que S-local espectros no tiene que ser inyectiva, acaba de Omega-espectros.

El inyectiva Omega-espectros debe ser el fibrant objetos en un modelo diferente estructura. Debe haber un inyectiva nivel de estructura, que supongo que no construir, donde el cofibrations son monomorphisms y la debilidad de las equivalencias son el nivel de equivalencias. El fibrant objetos sería entonces el inyectiva espectros. El inyectiva Omega-espectros son entonces el fibrant objetos en la izquierda Bousfield la localización de esta categoría con respecto a la estabilidad de las equivalencias.

Answer 2

Stefan Schwede "Un unititled proyecto de libro sobre simétrica espectros" abarca, en el capítulo III, la proyectiva levelwise y estable de las estructuras del modelo en simétrica espectros en bastante detalle (junto con otras estructuras de modelo). Específicamente, el Teorema 2.2 en la página 131 implica que en la proyectiva estable la estructura del modelo (como la localización de la proyectiva levelwise la estructura de la fibrant objetos son sólo Ω-los espectros en el "up-to-homotopy" sentido.

Answer 3

Creo que Mark Hovey ha señalado que la observación sea necesario para finalizar la prueba. Si trabajamos en la inyectiva estructura del modelo, luego de ser fibrant es equivalente a ser inyectiva. Si son estables equivalencias, a continuación, el S-objetos locales son necesariamente inyectiva espectros. Ahora uso lema 3.1.5 y una generalización de ejemplo 3.1.10 a la prueba de que inyectiva Omega-espectros son todos los S-objetos locales. Porque hemos cambiado nuestra cofibrations, no podemos llegar exactamente el modelo estable de la estructura, pero tenemos uno con el derecho débil equivalencias y eso es lo que cuenta.

Por tanto, yo creo que podemos concluir: hay un modelo de la estructura simétrica de los espectros con estable equivalencias como la debilidad de equivalencias, que es la izquierda Bousfield la localización de la inyectiva modelo de estructura simétrica de los espectros con respecto a la estabilidad de las equivalencias.