¿Cómo puedo encontrar la ecuación de una curva formada por una serie de tangentes de líneas a una curva?

Question

Cuando yo era joven solía dibujar una secuencia de líneas rectas en el gráfico de papel que hizo una curva después de que terminé. En un plano de coordenadas, las líneas sería equivalente a partir de la $y=9$ $y$ eje y terminando en $x=1$ $x$ eje. Con cada línea, me gustaría disminución del $y$ por una unidad y aumentar el $x$ por una unidad.

Aquí está una desmo gráfico que ilustra. https://www.desmos.com/calculator/u4ea8swmfg

Aquí está un ejemplo similar, donde el ángulo entre las líneas es de 60 grados. https://drive.google.com/open?id=0B5QHq_oPha0ybGdrbFNhUHRPOGc

Creo que cada línea es básicamente una línea tangente a lo largo de la curva producida por tomar una primera derivada.

Son estos tipos de curvas de parábolas o posiblemente hyperbolae? Y cómo podría yo encontrar la ecuación de esta curva?

Answer 1

La curva que describe, de hecho, es una parábola; en concreto, es la parábola generada como la cuadrática de Bézier con los puntos de control como los extremos de las líneas.

La ecuación de esta parábola es, para los tres puntos de $a, b, c$:

$$f(t)=(1-t)^2a+t(1-t)b+t^2c$$

Esta es una fórmula paramétrica; entrar en un $t$ valor y le da el $x$ $y$ valores de un punto sobre la curva, en contraposición a entrar en un $x$ valor y obtener el $y$ valor.

En el primer caso, con el ángulo correcto, la parábola es simplemente

$$f(t)=\left(10t^2,10(1-t)^2\right)$$

se muestra en rojo en la figura.

El $60^\circ$ ángulo se parece a esto.

Answer 2

Puntos $A_n(0,n)$ $y-$ eje y $B_n(10-n,0)$ $x-$ eje pasan las ecuaciones de todas las líneas son $$y=\dfrac{-n}{10-n}x+n$ $ $C$ como la variable de la familia de curvas, escribimos $$y=\dfrac{-C}{10-C}x+C$ $ para la envolvente de la familia de curvas, $\dfrac{\partial f}{\partial C}=0$ donde %#% $ #% después de la canceladura $$f=y+\dfrac{C}{10-C}x-C$ entre $C$y $f$ obtenemos $\dfrac{\partial f}{\partial C}=0$ $