¿Lo que ' s una matriz?

Question

Qué es una matriz exactamente? ¿Qué son las matrices que se utilizan para?

He leído algunos de los artículos de Wikipedia, pero como mis conocimientos matemáticos es bastante básico, yo no entendía mucho.

Puede que me explique en lenguaje sencillo, lo que las matrices son, y para qué se utilizan?

Por ejemplo, yo sé lo que una matriz de rotación y para qué se utiliza, pero no sé por qué se llama 'matrix'. Para mí es sólo una fórmula ($x' = x\cos\theta - y\sin\theta$, $y' = x\sin\theta + y\cos\theta$), que puedo utilizar para obtener la nueva posición de un punto después de una rotación. No sé por qué se llama una matriz y lo matrices que son y hacen en general.

Gracias

Answer 1

Una matriz es una matriz de números, expresiones o símbolos dispuestos en filas y columnas como usted puede haber leído en la Wikipedia. Las Matrices se pueden sumar, restar y se multiplica. La división es un caso especial, donde en lugar de "división de matrices" encontramos a la inversa y se multiplican por la matriz. $(A/B=A\times \frac{1}{B}=A\times B^{-1})$ $$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots&\vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots&a_{mn} \\ \end{pmatrix} $$ La matriz $A=(a_{ij})_{m\times n}$ donde $a_{ij}\in R,\space (i=1,2,...m, \space j=1,2,...n)$, $m$ es el número de filas y $n$ es el número de columnas. $m\times n$ es llamado el tamaño de la matriz. Es posible tener una matriz con una fila - esto se llama un vector fila y su tamaño es de $1\times n$ así como una matriz tiene una columna - esto se llama un vector columna y su tamaño es de $m\times 1$. Una matriz con el tamaño de la $n\times n$ se llama matriz cuadrada. A continuación es un vector fila, columna de vector y matriz cuadrada, respectivamente.

$$\left(3, \space 2, espacio\5\right)\espacio \begin{pmatrix} 3\\ 7\\ 2\\ \end{pmatrix}, \espacio \begin{pmatrix} 3&5&5\\ 3&3&9\\ 1&2&2\\ \end{pmatrix}$$

Las Matrices tienen varios usos y aplicaciones que pueden ser aplicados a diferentes áreas aplicadas. Una de las principales aplicaciones de las matrices que se representan transformaciones lineales. Transformaciones lineales/Lineal, la Cartografía es una correspondencia entre dos módulos de $(L:V\to W)$ que preservar las operaciones de multiplicación escalar y además podemos considerar que esto sea simplemente una generalización de las funciones lineales. Daré más detalles sobre esto en breve.

Para despejar su confusión, las matrices pueden ser expresadas en un número de maneras. Y, además, las ecuaciones se pueden expresar como matrices. Así, por ejemplo, si usted tiene un sistema de ecuaciones, se pueden expresar como una matriz. Veamos el siguiente sistema de ecuaciones:

$$2x + 3y – z = 6\\ –x – y – z = 9\\ x + y + 6z = 0\\$$ $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 2&3&-1&6\\ -1&-1&-1&9\\ 1&1&6&0 \end{array} \right]$$

Escribir los coeficientes de $x$, $y$ y $z$ y sus soluciones, hemos representado a esta como una matriz. Esta matriz se llama matriz ampliada (a continuación). Con el sistema de ecuaciones se expresa como una matriz ampliada, ahora podemos resolver y determinar si el sistema es consistente (lo que significa que no hay una solución única o un número infinito de soluciones para el sistema) o inconsistente (lo que significa que no hay soluciones para el sistema). La resolución de sistemas tales como estos tienen una variedad de aplicaciones útiles como en los negocios, etc..y tantos otros - en general, cualquier problemas con los desconocidos. Matrices por lo que se hace posible resolver un sistema de $3$ o más incógnitas que sería largo o difícil, imagínate $6$ $10$ incógnitas...

Tenga en cuenta que el anterior conjunto de matrices también puede ser representado como:

$$ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 6 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6\\ 9\\ 0\\ \end{pmatrix} $$ Una Matriz de Rotación es una matriz que se utiliza para aplicar una rotación de hecho en el Espacio Euclidiano. Así que tomando las dos ecuaciones que usted ha mencionado..Como hicimos con el anterior sistema de ecuaciones se pueden representar estas matrices.. $$x' = x\cos\theta - y\sin\theta\\ y' = x\sin\theta + y\cos\theta\\$$

$$\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos\theta &-\sin\theta\\ \sin\theta &\cos\theta\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix}$$

Cuando se considera por encima de la representación se puede ver claramente que estas dos ecuaciones son de hecho las matrices y de ahí el nombre de "Matriz de Rotación". Enchufar en cualquier $(x,\space y)$ coordinar y mediante la multiplicación de la matriz, usted puede encontrar el correspondiente $(x',\space y')$ coordenadas. Esto dará la misma respuesta si había sustituido a $x$ $y$ en las ecuaciones..

Ahora, de vuelta a Transformaciones Lineales... Una transformación lineal, $L$, es una función donde $V$ $W$ son espacios vectoriales, $L:V\to W $ satisfacción $L(k_1\mathbf x_1+k_2\mathbf x_2)=k_1L(\mathbf x_1)+k_2L(\mathbf x_2)$$\mathbf x_1, \mathbf x_2 \in V \text{and}\space k_1,\space k_2\in R$. Las Matrices permiten transformaciones lineales a ser representados en un formato consistente, adecuado para el cálculo. Si $L$ es una transformación lineal de asignación de $V \to W$ $\mathbf x$ es un vector columna con $n$ entradas $L(\mathbf x)=A\mathbf x$ algunos $m\times n$ matriz $A$. $A$ se llama la matriz de transformación de $L$. El uso de la matriz de rotación de arriba:

$$\begin{align} L(\mathbf x) & = A\mathbf x \\ & =\begin{pmatrix} \cos\theta &-\sin\theta\\ \sin\theta &\cos\theta\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix}\\ y = \begin{pmatrix} x\cos\theta &-y\sin\theta\\ x\sin\theta &y\cos\theta\\ \end{pmatrix} \end{align}$$

$$\text{When}\space \theta = \frac{\pi}{2}$$ $$L\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\cos\frac{\pi}{2} &-y\sin\frac{\pi}{2}\\ x\sin\frac{\pi}{2} &y\cos\frac{\pi}{2}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x(0) &-y(1)\\ x(1) &y(0)\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -y\\ x\\ \end{pmatrix}$$

$$\text{When}\space \theta = \pi$$ $$L\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\cos\pi &-y\sin\pi\\ x\sin\pi &y\cos\pi\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x(-1) &-y(0)\\ x(0) &y(-1)\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -x\\ -y\\ \end{pmatrix}$$

Answer 2

Las Matrices se utilizan para expresar las transformaciones a cualquier objeto (vector) para que el resultado final es otro objeto (vector) con posibles comportamientos diferentes (espacios vectoriales). Es comúnmente usado como un matemáticamente sucinta y general de la alternativa de hacer una lista de todos los coeficientes utilizando voluminosos ecuaciones.

Así que, en su caso, el ángulo y la longitud, en conjunto, conforman un punto y así es un vector, y el resultado después de la rotación sería otro punto (ángulo de + longitud).

Matrices puede no ser lineal, sino que es introducido por primera vez para transformaciones lineales.

Answer 3

Una matriz es un arreglo rectangular de números (generalmente números, pero las matrices pueden contener cualquier cosa que usted quiere). El más importante de la aplicación de una matriz de números, o si usted quiere ser general, los elementos de un campo) es la representación de una transformación lineal entre finito-dimensional espacios vectoriales, manipular tales transformaciones lineales, y determinar sus propiedades.

Una transformación lineal es una función lineal de un espacio vectorial a otro (en breve, satisface $T(a\mathbf{v})=aT(\mathbf{v})$ $T(\mathbf{u} + \mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$ para todos los escalares $a$ y vectores $\mathbf{u}$$\mathbf{v}$).

De pregrado de álgebra lineal estudiantes a menudo tienen una gran cantidad de problemas con las nociones abstractas de espacios vectoriales y transformaciones lineales, por lo que es habitual para enseñarles acerca de las matrices en primer lugar, aunque es seguro decir que la más importante de la aplicación de matrices es codificar transformaciones lineales (es decir, la atención acerca de las matrices en su mayoría debido a la limitada-dimenionsal espacios vectoriales y transformaciones lineales).

Como se señaló anteriormente, una matriz puede contener cualquier cosa (no necesariamente real o números complejos, o elementos de cualquier campo). Por ejemplo, el Wronskian de una lista de funciones se define como el determinante de una matriz cuyos elementos son funciones.