No cero Divisor

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo. Luego nos dice $a \in R$ es un divisor de cero si existe $b \neq 0$ tal que $ab = 0$.

Quiero saber lo que significa que no sea un divisor de cero. Así que traté de negar la instrucción: $a$ no es un divisor de cero si para cada a $b \neq 0$ tenemos $ab \neq 0$.

También tomar el contrapositivo de la declaración inicial que me dieron la siguiente: Si para cada $b \neq 0$, $ab \neq 0$, a continuación, $a$ no es un divisor de cero.

He negado la definición de un divisor de cero y tomado el contrapositivo correctamente?

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Mi libro tiene el siguiente teorema: Supongamos $a$ no es un cero-divisor. Entonces si $ab = ac$, podemos concluir que $b = c$.

Prueba: $ab - ac = a(b-c) = 0$. Desde $a$ no es un cero-divisor, $b-c = 0$$b=c$.

No veo por qué no $b-c = 0$ porque $a$ no es un cero-divisor. Podría alguien explicar?

Answer 1

Sí un divisor de cero es un elemento $a\neq 0$ de manera tal que usted puede encontrar un $b\neq 0$$ab\ = 0$. La existencia de divisores de cero en un anillo, sólo significa que el producto de dos no-cero de los elementos puede ser cero.

De hecho, como escribir, $a\neq 0$ no es un divisor de cero si una de las siguientes afirmaciones son equivalentes satisfecho:

• No existe un $b\neq 0$ tal que $ab = 0$.
• $ab = 0$ implica que el $b = 0$.
• $b\neq 0$ implica $ab \neq 0$.

Así que, de hecho, se da $a\neq 0$ cumple que todos los $b\neq 0$ que $ab\neq0$ $a$ no es un divisor de cero.

Answer 2

Sí, han determinado la formulación correcta de lo que significa ser un sin-cero-divisor.

Si $a$ no es un divisor de cero, entonces cada $r\neq 0$, tenemos que $ar\neq 0$. $ar=0$ Cuando $r=b-c$. ¿Decirte?

Answer 3

$b-c=0$ porque cualquier número - ese número da $0$. Otra cosa no te $0$ si $b>c$ o $c>b$.