Una Desigualdad Que Involucra La Campana De Los Números: $B_n^2 \leq B_{n-1}B_{n+1}$

Question

La siguiente desigualdad se acercó al intentar resolver una conjetura acerca de una determinada clase de particiones (el contexto no es particularmente esclarecedor): $$ B_n^2 \leq B_{n-1}B_{n+1} $$ para $n \geq 1$ donde $B_n$ indica el $n$th Campana número (es decir, el número de particiones de un $n$-elemento del conjunto). Me encontré con esta desigualdad a través de Maple para los valores de $n$ hasta 500 o así, y no encontrar un contraejemplo.

No es agradable la forma cerrada para $B_n$, por lo que yo estaba esperando para probar esta desigualdad combinatoria más que analíticamente (en particular desde el da de la desigualdad es sólo la versión más simple de un modo más general, la desigualdad espero establecer).

Deje $P_n$ ser la colección de la (no el número de) todas las particiones de un $n$-elemento del conjunto. Mi enfoque era encontrar una inyección de $P_n \times P_n$ a $P_{n-1} \times P_{n+1}$. Supongamos que estamos a la mapa $(C_1, D_1)$ $(C_2, D_2)$y supongamos, para mayor comodidad, nuestra tierra es el conjunto de números enteros de $1$$n$.

Natural de la aparente decisión fue elegir a $C_2$ a ser la partición de $C_1$ con el elemento $n$ eliminado. Desde la eliminación de la $n$ mapa muchas particiones en $P_n$ a la misma partición en $P_{n-1}$, necesitaríamos alguna manera de elegir a $D_2$ de tal manera como para retener información sobre donde$n$$C_1$. Tenemos el nuevo elemento $n+1$ a trabajar, así que tal vez puede ser utilizado para "etiquetar" a las particiones en cierta manera única.

He destacado un enfoque combinatorio en este post, pero les agradecería mucho cualquier técnicas que pueden ser de utilidad en el establecimiento (o refutar) esta desigualdad.

Answer 1

Esta respuesta es cortesía de Bouroubi (parafraseado):

Teorema. Definir $B(x)=e^{-1}\sum_{k=0}^\infty k^x k!^{-1}$. Dobinski la fórmula de los estados $B(n)=B_n$ $n$th Campana número. Ahora nos vamos a $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. A continuación, $$B(x+y)\le B(px)^{1/p}B(qx)^{1/q}.$$ Prueba. Deje $Z$ ser el discrete variable aleatoria con función de densidad (bajo recuento de medida) $$P(Z=k)=\frac{1}{e}\frac{1}{k!}.$$ Observe $\mathbb{E}(Z^x)=B(x)$. Hölder's inequality gives $\mathbb{E}(Z^{x+y})\le\mathbb{E}(Z^{px})^{1/p}\mathbb{E}(Z^{qx})^{1/q}$, lo que demuestra el teorema.

Corolario. La secuencia de $B_n$ es de forma logarítmica convexo, o, equivalentemente, $$B_n^2\le B_{n-1}B_{n+1}.$$ Prueba. Conjunto $x=\frac{n-1}{2}$, $y=\frac{n+1}{2}$, y $p=q=2$ en el teorema original.

No es una combinatoria de prueba, pero directo dado un par de poderosos locales, al menos. Tengo curiosidad, ¿cuál es la fórmula general que estamos tratando de establecer?

Answer 2

He aquí un argumento combinatorio. Deje $S_n$ denotar el número total de conjuntos de todas las particiones de $\{1, 2, \ldots, n\}$, por lo que el $A_n = \frac{S_n}{B_n}$ es el promedio del número de conjuntos en una partición de $\{1, 2, \ldots, n\}$.

En primer lugar, $A_n$ es cada vez mayor. Cada partición de $\{1, 2, \ldots, n\}$ consta de $k$ define los mapas a $k$ particiones que consta de $k$ juegos (si $n+1$ se coloca en una ya existente) y una partición que consta de $k+1$ juegos (si $n+1$ es colocado en un conjunto de por sí) de las particiones de $\{1, 2, \ldots, n+1\}$. Por lo tanto las particiones con más conjuntos de reproducir más particiones de su tamaño así como una partición de mayor tamaño, aumentando el número promedio de conjuntos de pasar de $n$ elementos de a $n+1$ elementos.

Siguiente, la desigualdad se ha demostrado que es equivalente al hecho de que $A_n$ es cada vez mayor. Separar las particiones contado por $B_{n+1}$ a (1) aquellos que tienen un conjunto formado por el único elemento $n+1$ y (2) aquellos que no. Debe quedar claro que no se $B_n$ de la antigua. También, hay $S_n$ de las segundas porque cada partición en el grupo (2) está formado por la adición de $n+1$ a un conjunto en una partición de $\{1, 2, \ldots, n\}$. Por lo tanto $B_{n+1} = B_n + S_n$.

La desigualdad a la que se muestra a continuación, puede ser reformulada como $$\frac{B_{n+1}}{B_n} \geq \frac{B_n}{B_{n-1}} \Longleftrightarrow 1 + \frac{S_n}{B_n} \geq 1 + \frac{S_{n-1}}{B_{n-1}} \Longleftrightarrow A_n \geq A_{n-1},$$ y sabemos que la última desigualdad se cumple porque ya hemos demostrado que $A_n$ es cada vez mayor.