Interpretación de los espinores de rango 2

Question

Mientras se inspecciona el $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ del grupo de Lorentz y definiendo un espinor diestro con índice superior punteado y un espinor zurdo con índice inferior no punteado y por tanto

$$v^{\dot{a}}_b = v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_1+iv_2&-(v_0+v_3) \\v_0-v_3&-(v_1-iv_2) \end{pmatrix}$$ y $$v^{ \dot{a} b} = \epsilon^{bc} v_c^{\dot{a}}$$

con métrica espinor $$\epsilon^{bc}= \begin{pmatrix} 0&1 \\ -1&0 \end{pmatrix}$$

se puede ver que el espinor de rango 2 $v^{ \dot{a} b}$ tiene exactamente las mismas propiedades de transformación que un vector 4 $v_{\mu}$ . Pero de la misma manera se puede ver que por ejemplo $v^{\dot{a}}_b$ se transforma de forma diferente. ¿Existen interpretaciones físicas de esos objetos? ¿Describen partículas específicas (no partículas vectoriales?)? Cualquier ayuda o sugerencia de lectura será muy apreciada.

Answer 1

El grupo de Lorentz es el conjunto de matrices que preservan el producto punto de cuatro vectores,

$v^2 = v_0^2 - v_1^2 - v _2 ^2 - v _3 ^2 $

Ambos $ v ^\mu $ y $ v ^{ \alpha \dot{\alpha} } \equiv v ^ {\mu} (\sigma_\mu) ^{ \alpha \dot{\alpha} } $ se transforman bajo el grupo de Lorentz. Sólo se transforman bajo una representación diferente (¡pero aún bajo la misma transformación!).

Además, existe una correspondencia uno a uno entre cada vector $ v ^\mu $ y $ v ^{ \alpha \dot{\alpha} } $ . Así que siempre puedes elegir trabajar en una u otra representación.

Obsérvese que la única distinción importante entre las dos representaciones es que para cada matriz boost para $ v ^\mu $ , $ \Lambda ^{ \mu } _\nu $ existen dos matrices de refuerzo equivalentes para $ v ^{ \alpha \dot{\alpha} } $ , $N _{\alpha \beta}$ . Esto resulta solucionar algunos de los inconvenientes asociados a la representación fundamental (de cuatro vectores) del grupo de Lorentz.

Por ejemplo, si tienes cuatro vectores y quieres potenciarlos en una dirección determinada. Puedes encontrar la matriz $\Lambda ^\mu_\nu $ y multiplicar $v ^\mu $ como

$ v' ^\mu = \Lambda _\nu ^\mu v ^\nu $

o puede encontrar la matriz $N _{\alpha \beta } $ y aplicarlo al espinor de rango 2:

$ v' _{\alpha \dot{\alpha}} = N _\alpha ^ \beta v _{\beta \dot{\gamma}} N ^{\ast \, \dot{\gamma}} _{\dot{\alpha}} $

Ambos métodos son equivalentes.