Elementos y flechas de una categoría.

Question

Supongamos que tenemos dos objetos $A$ , $B$ en una categoría fija y una flecha $\eta : A \to B$ .

1. ¿Tiene un objeto "elementos"? En el sentido de que el símbolo $a \in A$ ¿tiene sentido? (en el contexto más genérico, sin ningún otro supuesto). Si la respuesta es afirmativa, ¿por qué? ¿Qué significa?
2. En caso afirmativo, ¿podemos decir que si $a \in A$ entonces $\eta(a) \in B$ ?
3. Si es "sí" de nuevo, ¿tiene una flecha la misma propiedad de una función clásica? ("cada elemento del dominio tiene una sola imagen")

Estoy bastante seguro de que todas mis declaraciones son completamente equivocada (sólo por la definición de categoría - no estamos suponiendo nada sobre los "elementos"), pero me sentiría más seguro si pudiera ayudarme de todos modos.

Muchas gracias de antemano.

Salud

Answer 1

Como has señalado, en la definición de una categoría, los objetos no tienen elementos. Sin embargo, en una categoría puede haber flechas que actúan como lo harían los elementos de un conjunto.

En una categoría $\mathbf{C}$ , a objeto terminal Llámalo $1$ se define como sigue. Para cualquier objeto $A$ de $\mathbf{C}$ existe una única flecha $!:A \rightarrow 1$ . Los objetos terminales son únicos hasta el isomorfismo. En una categoría con un objeto terminal $1$ cualquier objeto dado $A$ entonces, hay una flecha única hacia $1$ , pero puede haber varias flechas $a:1 \rightarrow A$ al objeto. Estos se denominan elementos globales o puntos de $A$ .

En una categoría con objeto terminal $1$ , dada una flecha $\eta: A \rightarrow B$ y un elemento global $ a: 1 \rightarrow A$ existe una flecha $ \eta \circ a : 1 \rightarrow B$ que sí es un elemento global de B. Esto es lo más cercano a responder "sí" a sus dos preguntas para una categoría general.

Para ver por qué es interesante, veamos $\mathbf{Sets}$ la categoría de conjuntos y funciones. En ella, el objeto terminal es cualquier conjunto que contenga un solo elemento, como $1 \equiv \{1\}$ . Para cada conjunto $X$ sólo tiene una función, es decir $ \forall x \in X : x \mapsto 1$ por lo que se trata de un objeto terminal. Los elementos generalizados de $X$ entonces son las funciones (flechas) de $\{1\} \rightarrow X$ y es fácil ver que el conjunto de tales flechas es isomorfo al conjunto de elementos de $X$ En otras palabras, para cada elemento $x\in X$ hay una flecha $\{1\} \rightarrow X$ la función $1\mapsto x$ . Y para cada flecha hay un elemento. Así, en $\mathbf{Sets}$ los elementos generalizados de $X$ se reducen a los elementos de $X$ .

En resumen, los axiomas de la categoría no contienen la noción de elementos de los objetos, pero es posible definir la noción de elementos globales en cualquier categoría con un objeto terminal. En el caso de $\mathbf{Sets}$ los elementos globales están en correspondencia biyectiva con los elementos.

Answer 2

Los objetos, en general, no tienen elementos. Esto se puede remediar mediante el concepto de categoría de hormigón . En términos generales, se trata de una categoría $\mathbf{C}$ junto con una noción de "elemento de $X$ " para cada objeto $X$ . Explícitamente, una categoría concreta es una categoría $\mathbf{C}$ equipado con un functor fiel $U : \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{Set}$ . Podemos entonces definir que si $X$ es un objeto de $\mathbf{C},$ entonces un elemento de $X$ es (por definición) sólo un elemento de $UX$ .

Si no quieres asumir que hay un functor fiel distinguido $U$ por ahí, puede que le interesen los conceptos elemento global y/o elemento generalizado . Tenga cuidado: aunque los elementos globales parecen familiares y naturales, la mayoría de las categorías de interés no tienen suficientes elementos globales para que el concepto sea útil. Puede ser instructivo calcular los elementos globales en la categoría de espacios vectoriales reales y transformaciones lineales. Obsérvese que hay realmente no son muchos. Hay muchos generalizado elementos, sin embargo.

Otro punto que vale la pena señalar es que existen estas cosas llamadas multicategorías que son muy naturales, aunque si eres como yo, el concepto de multicategoría te parecerá repulsivo a primera vista (eso era humor autocrítico). Las multicategorías son básicamente sólo categorías, excepto que un morfismo puede tener una secuencia completa de objetos para su dominio. En particular, los morfismos pueden tener como dominio la secuencia vacía. Por lo tanto, si $X$ es un objeto de una multicategoría, entonces podemos definir que un elemento de $X$ es un morfismo cuyo codominio es $X$ y cuyo dominio es la secuencia vacía. Esto define un functor a la multicategoría de conjuntos y funciones. En muchos casos de interés, este functor es fiel; ergo, obtenemos una categoría concreta.

Answer 3

Una categoría hace tienen elementos en un sentido adecuado. En primer lugar, repasemos algunos ejemplos de la noción tradicional de elementos:

• Existe una biyección natural $S \cong \hom_{\mathbf{Set}}(\mathbf{1}, S)$
• Si $|X|$ es el conjunto de puntos de un espacio topológico, existe una biyección natural $|X| \cong \hom_{\mathbf{Top}}(\mathbf{1}, X)$
• Si $|G|$ es el conjunto subyacente de un grupo, existe una biyección natural $|G| \cong \hom_{\mathbf{Grp}}(\mathbf{Z}, G)$
• Si $|R|$ es el conjunto subyacente de un anillo conmutativo, existe una biyección natural $|R| \cong \hom_{\mathbf{CRng}}(\mathbf{Z}[x], R)$
• Si $\Gamma : E \to B$ es un paquete, $U \subseteq B$ es un conjunto abierto, y $\Gamma_U$ es el conjunto de secciones de $\Gamma$ en $U$ entonces existe una biyección natural $\Gamma_U \cong \hom_{\mathbf{Bundle}/B}(U, \Gamma)$
• Si $X$ es un esquema, $P$ es un esquema, y $X(P)$ es el conjunto de $P$ -puntos de $X$ entonces hay una igualdad $X(P) = \hom_{\mathbf{Sch}}(P, X)$ .

Todo ello sugiere una noción útil de elemento generalizado : un elemento generalizado de un objeto $A$ es simplemente una flecha con objetivo $A$ . Puede desarrollar todo un lógica interna en una categoría, y los hechos conocidos suelen adoptar formas conocidas. Esta lógica se vuelve más y más familiar cuanto más bonita es la categoría: las categorías cartesianas, las categorías cerradas cartesianas y las topos en particular.

Por ejemplo $f(x)$ significa el (elemento representado por el) compuesto de la función $f$ con la (flecha que representa el) elemento $x$ . La flecha $f : X \to Y$ es mónico si y sólo si, para todos los elementos $x,y \in X$ , usted tiene $f(x) = f(y) \implies x = y$ . (aquí, la evaluación de un elemento es simplemente la composición)

Incluso podemos ir más allá: si $\mathscr{C}$ es una categoría pequeña, entonces hay un functor útil $\mathscr{C} \to \mathbf{Set}$ que envía cada objeto $A$ al conjunto de todas las flechas con codominio $A$ . Así que incluso podemos tratar los elementos generalizados como elementos en el sentido de la teoría de conjuntos. Esto está estrechamente relacionado con la incrustación de Yoneda y con la noción de categoría que actúa sobre un conjunto.

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En mi opinión, esta noción sigue siendo útil incluso fuera del contexto de la teoría de las categorías. Un bonito ejemplo (en mi opinión) tiene que ver con elección . Cada vez que veas un argumento que incluya un conjunto "elige un $x \in S$ ", puede en cambio dejar que $x$ sea el genérico elemento generalizado de $S$ (es decir, la correspondiente a la función de identidad).

Por ejemplo, consideremos la prueba por inducción transfinita de que todo espacio vectorial tiene una base. Reinterpretando "elegir un ordenamiento de pozo en $V$ "de esta manera convierte instantáneamente todo el argumento en una derivación constructiva de una función a partir del conjunto de bien ordenados en $V$ al conjunto de bases para $V$ . Y uno que funciona tanto si se asume el axioma de la elección como si no. (naturalmente, es vacuo si el conjunto de ordenamientos en $V$ estar vacío)

Answer 4

En general, los objetos de una categoría no admiten elementos, por lo que tampoco $a \in A$ , ni $\eta(a) \in B$ tiene sentido.

Tal vez debería leer sobre el concepto de categoría concreta ( http://en.wikipedia.org/wiki/Concrete_category ). Se trata de una categoría en la que cada objeto tiene un conjunto subyacente, por lo que se puede hablar de los elementos de este conjunto subyacente como elementos del objeto. Probablemente, la mayoría de las categorías con las que has entrado en contacto hasta ahora eran categorías concretas.