Relación entre el factorial y las derivadas

Question

Me preguntaba si hay alguna relación entre los factoriales y las derivadas porque observo que si tuviéramos $x^n$ y tomamos el $n$ -derivada de esta función será igual al factorial de $n$ : $$\frac{d^n}{dx^n}(x^n)=n!$$

Answer 1

Dejemos que $U_{n,x}=\{(x_1,x_2,\dots,x_n)\mid 0<x_1<x_2<\cdots <x_n\leq x\}$ . No es difícil demostrar, mediante un argumento de simetría, que el hipervolumen de esta región es $\frac{x^n}{n!}$ porque hay $n!$ formas de permutar el $x_i$ para obtener un orden diferente, y esto cubre "casi todo" el $n$ -hipercubo de dimensión con lado $x$ .

Una característica interesante es que el valor

$$|U_{x+y,n}| = \sum_{k=0}^{n} |U_{x,k}|\cdot|U_{y,n-k}|$$

Este es el teorema del binomio escrito geométricamente. Dice que podemos dividir $U_{x+y,n}$ en componentes $A_k$ donde la primera $k$ elementos de $(x_1,\dots,x_n)$ son menores que $x$ y el siguiente $n-k$ son mayores que $x$ . (Donde $|U_{z,0}|$ se considera $1$ .)

Esto nos permite calcular la derivada, porque $y=|U_{y,1}|$ y lo consigues:

$$\frac{U_{x+y,n}-U_{x,n}}{y} = |U_{x,n-1}| + \sum_{k=0}^{n-2} |U_{x,k}|\cdot \frac{|U_{y,n-k}|}{y}$$ y obtenemos que $\frac{|U_{y,j}|}{y}\to 0$ como $y\to 0$ cuando $j>1$ .

Da la sensación de que se puede hacer algo más con esta idea, quizás utilizando algo así:

$$f^{(n)}(x)=\lim_{h_1\to 0} \lim_{h_2\to 0} \cdots \lim_{h_n\to 0}\text{ some horrible expression }$$

Answer 2

Sí, y precisamente por eso $n!$ aparece en el denominador del término de una serie de Taylor que contiene $x^n$ (para simplificar, supondré que la serie está centrada en $x=0$ ).

Este término es $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ . Cuando se toma $n$ derivados y enchufe $x=0$ , se obtiene sólo $f^{(n)}(0)$ como se desee. Por eso la serie de Taylor tiene las derivadas correctas de todos los órdenes en $x=0$ todos los demás términos desaparecen (o se han diferenciado o aún contienen un factor real de $x$ ), dejando exactamente lo que quieres.

Answer 3

Mira la expresión general $$y_i = \frac{{\rm d}^i x^n}{{\rm d}x^i}$$

Esta es la i -derivada de $x^n$ para $i=1\ldots n$ . Esto se puede evaluar directamente como

$$ \boxed{ \frac{{\rm d}^i x^n}{{\rm d}x^i} = \frac{n!}{(n-i)!} x^{n-i} } $$

Así que el i -derivada de a n -El polinomio de orden 0 contiene términos de $n!$ , $(n-1)!$ , $(n-2)!$ etc.