Prueba elemental para $\sqrt{p_{n+1}} \notin \mathbb{Q}(\sqrt{p_1}, \sqrt{p_2}, \ldots, \sqrt{p_n})$ donde $p_i$ son números primos diferentes.

Question

Toma $p_1, p_2, \ldots, p_n, p_{n+1}$ sean $n+1$ números primos en $\mathbb{P} \subseteq \mathbb{N}$. $\sqrt{p_{n+1}} \notin \mathbb{Q}(\sqrt{p_1}, \sqrt{p_2}, \ldots, \sqrt{p_n})$ parece bastante claro, pero aún necesita una prueba. Sé que algunas pruebas están relacionadas con la teoría de Galois, lo cual no es lo que quiero.

Answer 1

Probaré la siguiente declaración más general.

Teorema. Sea $P(n)$ la siguiente declaración: $$\forall m\in \Bbb N^+\ \ \sqrt{q_1\cdots q_m} \notin \mathbb{Q}(\sqrt{p_1}, \ldots, \sqrt{p_n}) \text{ para cualquier }\text{primo distinto } p_1,\ldots,p_{n},q_1,\ldots,q_m.$$ Afirmamos que $P(n)$ es verdadero para cualquier entero $n\in \Bbb N$.

Prueba por inducción

• Paso base: Dado un entero positivo $m$ y $q_1,\cdots ,q_m$ números primos distintos, asumimos que: $$\sqrt{q_1\cdots q_m}\in \Bbb Q $$ por lo tanto existen enteros $a$ y $b$ tales que $q_1\cdots q_m=\frac{a^2}{b^2}$ entonces $$1=v_{q_1}(q_1\cdots q_m)=2(v_{q_1}(a)-v_{q_1}(b))$$ la primera igualdad se cumple porque $q_1,\cdots q_m$ son distintos, se concluye que $1$ es par, lo cual es absurdo, finalmente $P(0)$ es verdadero.

• Paso de inducción: Suponemos que $P(n-1)$ es verdadero, demostraremos que $P(n)$ por contradicción, asumimos que $P(n)$ es falso, entonces existe un entero $m\geq 1$ y primos distintos $p_1,\cdots,p_n,q_1,\cdots,q_m$ tales que: $$\sqrt{q_1\cdots q_m} \in \mathbb{Q}(\sqrt{p_1}, \sqrt{p_2}, \ldots, \sqrt{p_n})$$ por lo tanto existen $a,b\in \mathbb{Q}(\sqrt{p_1}, \sqrt{p_2}, \ldots, \sqrt{p_{n-1}})$ tales que $\sqrt{q_{1}\cdots q_m}=a+b\sqrt{p_n}$. Al elevar al cuadrado se obtiene:

• uno tiene $b=0$ entonces $\sqrt{q_{1}\cdots q_m}\in \mathbb{Q}(\sqrt{p_1}, \sqrt{p_2}, \ldots, \sqrt{p_{n-1}})$ y $p_1,\cdots,p_{n-1},q_1,\cdots,q_m$ son distintos;

• o uno tiene $a=0$ en cuyo caso $bp_n=\sqrt{q_{1}\cdots q_mp_n}\in \mathbb{Q}(\sqrt{p_1}, \sqrt{p_2}, \ldots, \sqrt{p_{n-1}})$ y $p_1,\cdots,p_{n-1},q_1,\cdots,q_m,q_{m+1}=p_n$ son distintos;

• o uno tiene $$\sqrt{p_n}=\frac{q_{1}\cdots q_m-a^2-b^2p_n}{2ab}\in \mathbb{Q}(\sqrt{p_1}, \ldots, \sqrt{p_{n-1}}) $$ y $p_1,\cdots,p_{n-1},q_1=p_n$ son distintos aquí el nuevo entero positivo $m$ es $1$.

En todos los casos hay una contradicción con $P(n-1)$, finalmente $P(n)$ es verdadero.