"El Gauss, ¿cómo procedería?"

Question

Estoy buscando universidades con un programa de postgrado en los Estados unidos. Yo empecé con el de Princeton (soñar es gratis:) y se enteró de que en el fin de comenzar a trabajar en su tesis de que los alumnos han de pasar un año estudiando allí, y pasar un Examen General. Tengo curiosidad acerca de lo difícil de este análisis estarían. Ellos tienen la tradición de publicar los registros en línea de exámenes anteriores, así que, después de la punta de un tiempo, me encontré con esta pregunta por el Profesor Sarnak en 2008 examen; él sólo le había pedido el estudiante ¿cómo iba a demostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt{-163})$ es un director ideal de dominio cuando él le pregunta "¿Cómo Gauss proceder?".

Al principio me sonó como un injusto y ridículo de la pregunta, pero ¿quién soy yo para contradecir el Profesor Sarnak. ¿Sabes si hay realmente una razón suficiente para decir cómo sería Gauss proceder? Y si ese es el caso, ¿cuál sería su argumento?

(Sé que "suficiente" no es muy precisa y que puede ser pensado como una cuestión de opinión. Me limitaré a razones plausibles motivar a un argumento específico de Gauss podría haber utilizado para responder a la pregunta de arriba.)

Answer 1

Gauss demostró que ${\mathbb Z}[i]$ es un PID con el hecho de que el número de clase de los formularios con discriminante $-4$$1$. Por otro lado, Gauss sólo se considera cuadráticas formas, incluso con medio coeficiente, por lo que en el caso de discriminante $-163$ habría sido obligados a utilizar el hecho de que el número de clases de los formularios con discriminante $-163$$3$, y el resto de la prueba sería necesario, entonces, los argumentos adicionales. No creo, sin embargo, que este era el punto de la pregunta, la cual estaba destinada a conseguir la formas cuadráticas binarias como una respuesta.