Probar el 24% se divide $u^3-u$para todos los números naturales impares $u$

Question

En nuestro colegio, un profesor nos dijo que demostrar mediante una demostración semi formal (sin inducción completa):

• Para cada natural impar: $24\mid(u^3-u)$

Dijo que ese ejemplo fue tomado de un libro de secundaria - pues me din't conseguir algo, pero realmente no tengo idea para demostrar que sin utilizar la inducción completa.

¿Cualquier idea de demostración inteligente?

Gracias por tu ayuda. (Disculpen a mi mala Inglés.)

Answer 1

Primero Observe % $ $$ u^3-u = (u-1)u(u+1)$

Teniendo en cuenta que $u$ es raro. En este caso, $u-1$ $u+1$ son aún y uno de ellos es divisible por 4. Esto sigue de la observación básica que uno de cualquier dos números consecutivos es divisible por 4. Por lo tanto, es divisible por $(u-1)(u+1)$ $4 \times 2 =8$.

También, uno de tres números naturales consecutivos es divisible por 3. Así, uno de los $u-1,u,u+1$ es divisible por 3.

Así, $(u^3-u)$ es divisible por 8 y 3, que son el primer conjunto. Por lo tanto, es divisible por $8\times 3=24$

Answer 2

Lo del factor: $u^3-u=u(u^2-1)=u(u-1)(u+1)$. Ahora muestran que uno de los tres factores debe ser divisible por $4$ y otro $2$, y que uno debe ser divisible por $3$.

Answer 3

Observe que $u^3-u=(u-1)u(u+1)$. Ahora son siempre divisibles por $3$ $3$ consequtive números. Así $3\mid u^3-u.$ $u$ es impar $\Rightarrow$ $u-1, \ u+1$ son. Demostrar que uno de los $u-1, \ u+1$ es divisible por $4$ y el otro $2$. Concluir que $24\mid u^3-u.$

Answer 4

Otra prueba.

Supongo que conoces la fórmula siguiente:

$$1^2+2^2+...+k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$$

para todo número entero $k\geq 0$.

Si $u$ es impar entonces $u=2k+1$ % entero $k\geq 0$. Expansión: $$u^3-u = (2k+1)^3-(2k+1) = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 - (2k+1) = 8k^3 + 12k^2 + 4k \\= 4k(2k+1)(k+1)=24\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ $

Si $u$ es impar, entonces $\frac{u^3-u}{24}$ es la suma de los cuadrados de $k=\frac{u-1}{2}$ primera y por lo tanto es un número entero.

Answer 5

Sugerencia $ $ Inducción paso: $\rm\:24\:|\:f(n) = n^3\!-n\:\Rightarrow\:24\:|\:f(n\!+\!2) = f(n) + 6(n\!+\!1)^2\:$ $\rm\:n\!+\!1\:$ es incluso.

Comentario $\ $ Si se telescsope esto podemos obtener una buena representación muestra el factor de $24$.

$$\rm\begin{eqnarray} f(2n\!+\!1)\! -\! f(1)\, &=&\,\rm f(2n\!+\!1)\!&&\rm-\ f(2n\!-\!1) &&\rm+\ \,\cdots\, + f(5)\!&&\rm-\ f(3) &&\rm +\ \ f(3)\!&&\rm-\ f(1) \\ \,&=&\,\rm &&\!\!\!\!\!\rm6(2n)^2&&+\ \,\cdots\, + &&\!\!\!6\cdot4^2&& +&&\!\!\!6\cdot2^2\end{eqnarray}$$

Así, el uso de $\rm\:f(1) = 0,\:$ y sacando un factor de $\,4\,$ de los RHS a través de $\rm\,(2k)^2 = 4\cdot k^2$ obtenemos

$$\rm\ f(2n\!+\!1)\, =\, 24\, (n^2 + (n\!-\!1)^2 +\, \cdots\, + 2^2 + 1^2)$$

haciendo que el factor de $24$ claro. Este es esencialmente el resultado de Thomas respuesta, excepto la que hemos obtenido es mecánicamente (se requiere ningún conocimiento especial o conocimiento), utilizando sólo la idea muy sencilla de telescopy - sobre el cual se puede encontrar mucho más escrito en muchos de mis anteriores posts en telescopy.