¿Cómo demostrar la existencia del eje de rotación instantáneo?

Question

Teorema de Euler de la rotación establece que cualquier movimiento de cuerpo rígido con un punto fijo es equivalente a una rotación alrededor de algún eje que pasa por ese punto fijo. Ahora bien, a menudo se dice que el teorema de Euler de las rotaciones implica la existencia de un eje de rotación instantáneo. Mi pregunta es, ¿cómo podemos demostrar que el eje instantáneo de rotación existe?

Consideremos un cuerpo rígido que experimenta un movimiento con un punto fijo. Para cualquier tiempo $t_1$ y $t_2$ , dejemos que $\hat{u}(t_1,t_2)$ denota el vector unitario paralelo al eje de rotación que equivale al movimiento del cuerpo rígido entre el tiempo $t_1$ y el tiempo $t_2$ . Entonces, ¿cómo podemos demostrar que el límite de $\hat{u}(t_1,t_2)$ como $t_2$ va a $t_1$ ¿existe?

Además, una vez demostrado que el límite existe, ¿cómo podemos demostrar que el vector unitario que obtenemos apunta en la dirección del vector velocidad angular del cuerpo rígido?

Todo esto sería mucho más fácil de demostrar si el vector velocidad angular fuera la derivada del vector desplazamiento angular, pero las cosas no funcionan tan fácilmente porque las rotaciones no se conmutan; ver este artículo para más detalles.

EDIT: Acabo de publicar una pregunta de seguimiento ici .

Answer 1

Hallar el lugar geométrico de los puntos sin movimiento en un cuerpo rígido, si el punto A es fijo.

Sin pérdida de generalidad, coloque un sistema de coordenadas en A . El movimiento de cuerpo rígido se define si un punto arbitrario mantiene una distancia constante de A $$d = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

Esto se consigue configurando $\frac{{\rm d}d}{{\rm d}t}=0$ que por la regla de la cadena (con derivada temporal de $\frac{1}{2}d^2$ ) implica $$ x \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} + y \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}+ z \frac{{\rm d}z}{{\rm d}t} = 0$$

En forma vectorial es $$\vec{r} \cdot \vec{v} =0$$ con $\vec{r}=(x,y,z)$ y $\vec{v} = \frac{{\rm d}\vec{r}}{{\rm d}t}$ .

Por tanto, el campo de velocidad debe ser perpendicular al vector de posición. Una solución obvia a lo anterior es

$$ \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$$

$$ \vec{r} \cdot (\vec{\omega} \times \vec{r}) \equiv 0 $$

Así que hemos establecido que el vector un campo de velocidad de la forma $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ describe el movimiento de un cuerpo rígido. Esto también impone la limitación de que $\vec{\omega}$ es constante en todo el cuerpo porque de lo contrario la expresión anterior no sería cero. Haz la prueba.

Ahora veamos los puntos paralelos a $\vec{\omega}$ con $\vec{r} = \lambda \,\vec{\omega}$ . Las velocidades son

$$\vec{v}_\parallel = \vec{\omega} \times (\vec{r}) = \vec{\omega} \times \lambda \,\vec{\omega} \equiv 0$$

Ahora veamos los puntos perpendiculares a la dirección de $\vec{\omega}$ con una distancia $d$

$$\vec{r} = \lambda \vec{\omega} + d \vec{n}$$ con las propiedades $\| \vec{n} \|=1$ y $\vec{n}\cdot\vec{\omega}=0$

$$\vec{v} = \vec{\omega} \times (\vec{r}) = \vec{\omega} \times ( \lambda \,\vec{\omega} + d \,\vec{n}) = d\,(\vec{\omega} \times \vec{n})$$

que es un vector perpendicular a ambos $\vec{\omega}$ y $\vec{n}$ . Esto implica una dirección tangencial (aro) para la velocidad cuya magnitud aumenta linealmente con la distancia.

A este movimiento lo llamamos rotación.

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He aquí un dato interesante. Si en un punto arbitrario situado en $\vec{r}$ el vector velocidad es $\vec{v}$ y el cuerpo gira con $\vec{\omega}$ entonces el eje instantáneo de rotación está situado en

$$\vec{q} = \vec{r} + \frac{\vec{\omega} \times \vec{v}}{\| \vec{\omega} \|^2}$$

La prueba es que $\vec{v} = \vec{\omega} \times (\vec{r}-\vec{q}) \rightarrow$

$$\require{cancel} \begin{align} \vec{v} & = \vec{\omega} \times \left(\vec{r}-\left(\vec{r} + \frac{\vec{\omega} \times \vec{v}}{\| \vec{\omega} \|^2}\right) \right) \\ & = -\frac{\vec{\omega} \times(\vec{\omega} \times \vec{v})}{\| \vec{\omega} \|^2} = -\frac{ \vec{\omega}( \vec{\omega} \cdot \vec{v} ) - \vec{v} (\vec{\omega} \cdot \vec{\omega})}{\| \vec{\omega} \|^2} = \frac{ \vec{v} \| \vec{\omega}\|^2}{\| \vec{\omega} \|^2} - \frac{\vec{\omega}(\vec{\omega}\cdot\vec{v})}{\| \vec{\omega} \|^2} \\ \vec{v} &= \vec{v} -\frac{\vec{\omega}(\cancel{\vec{\omega}\cdot\vec{v}})}{\| \vec{\omega} \|^2} & \vec{v} \equiv \vec{v} \end{align}$$