Existencia de una política de las autoridades chinas

Question

La pregunta es uno de los análisis previo examen preliminar:

Deje $(M, d)$ ser un espacio métrico compacto y $z ∈ M$. Vamos $T : M → M $ ser una función que satisface $$ d(x, y) ≤ d(T(x), T(y))$$ para todos $x, y \in M,$ es decir, el las distancias no son la disminución de la virtud de la asignación de T. Definir {$x_n$} por $x_1 = T(z)$ $ x_{n+1} = T(x_n)$ $n ≥ 1.$ Demostrar que existe una sub-secuencia de {$x_n$} que converge a $z$.

Vi algunos paralelismos entre esta pregunta y para mostrar que un isomtery en un conjunto compacto a sí mismo es un surjection

Así que supuse que no hay subsequence que converge a $z$ y, por tanto, no existe $n_o \in \Bbb N $ $\epsilon$ tal que $d(x_m,z) >\epsilon $ por cada $ m>n_{0}$

Y puedo decir que la secuencia por lo tanto no tiene convergente subsequnece?

y llego $\epsilon< d(x_{m-n},z)=d(z,T^{m-n}(z))≤d(x_n, x_m) $ siempre $m-n>n_{0}$

Sin embargo no estoy totalmente convencido de que si lo he hecho todo correctamente y también que si el resultado se sigue de la cadena de desigualdades necesariamente .

Cualquier ayuda se agradece

Answer 1

La secuencia $(x_n)$ tiene un convergente subsequence $x_{n_k}\rightarrow p$. El subsequence es entonces una secuencia de Cauchy y $$d(x_{n_{k+1}-n_k},z)\leq d(x_{n_{k+1}},x_{n_k}) \rightarrow 0$ $ se puede tener en cuenta que si se mantiene la diferencia de $n_{k+1}-n_k$ limitado o, más generalmente, tiene un punto de acumulación finita del $m\geq 1$ $T^m z=z$ es un punto periódico así $x_{km}=z$ % todo $k\geq 1$.