¿Sin excluir el medio: ejemplo simple de campo con nilpotents?

Question

Me gustaría comprobar que no estoy cometiendo un error.

¿La declaración "los campos no tienen distinto de cero nilpotents" dependen de la ley de medio excluido?

Todas las pruebas de este hecho me puede evocar dependen de la dicotomía $a=0\vee a\neq 0$ junto con la implicación (por campos) que $a\neq 0\implies a$ invertbile. Por otra parte, en la geometría algebraica es posible mostrar el genérico anillo de Zariski topoi es internamente un campo (tiene la implicación $a\neq 0\implies a$ invertible, pero no necesariamente de medio excluido).

Hay algunos super simple ejemplo de un (conmutativo unitario) anillo, que es internamente un campo y ha nilpotents?

Añadido. ¿Qué acerca de la declaración "en un campo, el único nilpotent es cero"?

Observación. La implicación ($\neg (a=0)\implies a$ es invertible) no es de mi invención; se toma como la definición de un "anillo de fracciones" en la sección 2 de este documento por Kock. Los campos se definen de forma análoga.

Answer 1

Si $F$ es un campo, me gustaría interpretar "Ningún elemento no nulo es nilpotent" que significa simplemente que $(\forall x\in F)(x\ne 0 \implies (\forall n\in\mathbb{N})(x^n \ne 0)).$, La prueba usual de este desde el campo axiomas se supone $x\ne 0$, y se demuestra que ningún poder de la $x$ $0,$ que es constructivo.

(La frase $(\forall x\in F)(x=0 \,\lor\, (\forall n\in\mathbb{N})(x^n \ne 0))$ podría ser problemático, pero eso es otra frase.)

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En cuanto a la declaración "En un campo, el único nilpotent es cero," creo que esto depende de cómo se interpreta de manera constructiva.

(1) $\;(\forall x)\Big( \big((\exists n)(x^n=0)\big) \implies x=0 \Big)$ significa que por cada $x,$ si tenemos un testimonio $n$ que $x^n=0,$, entonces podemos demostrar de manera constructiva que $x=0.$

(2) $\;\lnot (\exists x) \Big(\big((\exists n)(x^n=0)\big) \,\wedge\, x\ne0 \Big)$ significa que podemos derivar una contradicción a partir de la existencia de un no-cero nilpotent.

(3) $\;(\forall x)\Big(x\ne 0 \implies \big((\forall n)(x^n \ne 0)\big) \Big)$ significa que si tenemos una constructivo prueba de que $x\ne 0,$ a continuación, para cada $n,$ podemos producir de manera constructiva constructiva de la prueba de que $x^n\ne 0.$

(4) $\;(\forall x)\Big(x\ne 0 \implies \big(\lnot(\exists n)(x^n =0)\big) \Big)$ significa lo mismo que (2).

Esto es suponiendo que he aclarado todo correctamente; es complicado. Si uno piensa que a través de las pruebas con mucho cuidado, uno debe ser capaz de ver cuales de estos son siempre verdaderos de manera constructiva.

Answer 2

No es necesario el medio excluido para obtener una contradicción de un nilpotente en un campo:

Supongamos que $a\ne 0$ $a^n=0$ $n>1$. Entonces

%#% $ $$ a = (a^{-1})^{n-1} \cdot a^n = (a^{-1})^{n-1} \cdot 0 = 0 $ #% la contradicción.

Answer 3

Creo que el intuitionistic definición de campo que asumir que tiene que estar en disputa: en Primer lugar, usted tiene $$(\ddagger):\qquad\forall s: \neg(s=0)\Rightarrow (s\text{ invertible})\quad\Longleftrightarrow\quad \forall s: \neg(s=0)\Leftrightarrow (s\text{ invertible}).$$ There, since $\neg\neg\neg\Phi\Leftrightarrow\neg\Phi$ is intuitionistically valid for any proposition $\Phi$, se obtiene que $$(\star)\qquad\left[\neg(s=0)\Leftrightarrow (s\text{ invertible})\right]\quad\Longrightarrow\quad \left[\neg\neg(s\text{ invertible})\Leftrightarrow (s\text{ invertible})\right].$$ Es cuestionable que se quiere imponer esta restricción, porque por ejemplo, no se sostiene la hora de interpretar el dominio de $s$ como la estructura de la gavilla ${\mathscr O}_X$ de un esquema de reducción de $X$, que internamente usted puede ser que desee pensar de como un campo.

La razón por la R. H. S. de $(\star)$ no posee en este caso es que el valor de verdad de $(s\text{ invertible})$ el (esquema teórico) no desapareciendo locus $\{x\in X\ |\ s(x)\neq 0\text{ in }k(x)\}$$s$, lo $\neg\neg(s\text{ invertible})$ mantiene el fib este último es denso en $X$, que es el caso de la fib $s$ es regular.

Por otro lado, la alternativa de implicación/equivalencia definir intuitionistic campos $$(\dagger):\qquad\forall s: \neg(s\text{ invertible})\Rightarrow (s=0)\quad\Longleftrightarrow\quad \forall s: \neg(s\text{ invertible})\Leftrightarrow (s=0)$$ sí para la reducción de los esquemas. También, con esta definición se puede demostrar rápidamente que $$s\text{ nilpotent}\quad\Longrightarrow\quad s=0$$ desde $s\text{ nilpotent}\Rightarrow\neg(s\text{ invertible})$.

Fuente: Ingo Blechschmidt del papel es muy interesante y agradable de leer sobre todo esto.