Mostrar algo usando el teorema del valor medio

Question

Tengo un ejercicio sobre la diferenciabilidad, significa teorema del valor y suprema.

Para ser honesto, no entiendo la estructura de esta pregunta. Tal vez ustedes son tan amables de ayudarme :)

Deje $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ ser diferenciable con $f(0) = 0$, y la satisfacción de

$$|f'(x)|\le M|f(x)|, x\in[0,1] $$ para algunos $M>0$

un.) Utilizar el Valor medio Teorema a demostrar que para todos los $x \le x_0 \in[0,1], y\in[0,x_0]:$ $$ |f(x)|\le x_0 \text{ sup} |f'(y)|\le M x_0 \text{ sup} |f(y)|$$ b.) El uso de la parte anterior para mostrar que f es el cero de la función en [0,1].

(Sugerencia: ¿Qué sucede si elegimos $x_0$ tales que M$x_0<1$?)

Conoce las definiciones, teoremas:

• Valor medio Teorema (Hay una c para el cual f'(c) es igual a f(b)-f(a)/(b-a) si [a,b] es el dominio, y f es continua en [a,b], derivable en (a,b)
• Función derivable significa que para todos los puntos de c $\in$ A, el límite de f(x)-f(c)/(x-c) existe.
• Interior del Extremo Teorema (teorema del Valor Intermedio). Afirma que si f alcanza un valor máximo o mínimo en un intervalo abierto, entonces en algún punto c $\in$(a,b), f'(c)=0
• Darboux Teorema: Si f es differentiale en un intervalo [a,b] y si si $\alpha$ satistfies $f'(a) < \alpha < f'(b)$, entonces existe un punto c$\in$(a,b) donde a $f(c)=\alpha$

Answer 1

Sea f:[0,1]→R derivable con f(0)=0, y la satisfacción de

$$|f'(x)|\le M|f(x)|, x\in[0,1] $$ para algunos $M>0$

un.) Utilizar el Valor medio Teorema a demostrar que para todos los $x \le x_0 \in[0,1], y\in[0,x_0]:$ $$ |f(x)|\le x_0 \sup |f'(y)|\le M x_0 \sup |f(y)|$$ b.) El uso de la parte anterior para mostrar que f es el cero de la función en [0,1].

Vamos a empezar con una parte. Por lo tanto, fijar un $x_0$$(0,1)$. Supongamos que hay un $x$ $[0,x_0]$ tal que $|f(x)| > x_0 \sup|f'(y)|$. A continuación, en particular, $\dfrac{|f(x) - f(0)|}{x-0} = \dfrac{|f(x)|}{x} > \dfrac{x_0}{x}\sup f'(y) \geq \sup f'(y)$$x_0 \geq x$.

Pero, a continuación, por el valor medio teorema, debe existir una $c$ tal que $f'(c) = \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0}$. Esto es una contradicción, ya que, a continuación,$f'(c) > \sup f'(y)$.

La segunda desigualdad es mucho más fácil, basándose sólo en el uso de $|f(x)|\le x_0 \sup |f'(y)|\le M x_0 \sup |f(y)|$ y la interpretación de sup.

Y entonces usted puede seguir la pista de la parte b, y la respuesta se cae como $|f(x)| < \sup |f(y)|$ es un disparate.