Mostrar que limita que $f$ $(0,+\infty)$.

Question

Demostrar que una función $f\in C^{1}\bigl((0,+\infty)\bigr)$ que satisfacer $$f'(x)=\frac{1}{1+x^{4}+\cos f(x)},\, x>0$% $# %(0,+\infty) de #%.

Mi intento: me gustaría probar que $ is bounded at $

Tenemos $\lim_{x\to 0^+}f(x)>-\infty$,

entonces $-1\leq \cos f =\frac{1}{f'}-1-x^{4}\leq 1$.

Que $\frac{1}{2+x^{4}}\leq f'\leq \frac{1}{x^{4}}$ sea un primitivo de $F$.

Sigue %#% $ #%

Por lo que podemos concluir que el $\frac{1}{2+x^{4}}$ aumenta el $$(f-F)'\geq 0$.

No veo cómo puedo seguir aquí.

Answer 1

Desde $1 + \cos f(x) \geqslant 0$, $f'(x) > 0$ todos los $x\in (0,\infty)$, lo $f$ es estrictamente creciente. Para $x \geqslant 1$, tenemos la estimación de $f'(x) \leqslant x^{-4}$, lo que muestra que $f$ está delimitada en $[1,\infty)$, es decir,

$$f(x) \leqslant f(1) + \int_1^x \frac{dt}{t^4} = f(1) + \frac{1}{3}\left(1 - \frac{1}{x^3}\right) < f(1) + \frac{1}{3}.$$

Para mostrar que $f$ está acotada por debajo, o, en este caso, equivalentemente, que el $\lim\limits_{x\downarrow 0} f(x) > -\infty$, tenga en cuenta que para cualquier $k\in\mathbb{Z}$ si $\left(2k -\frac{1}{2}\right)\pi \leqslant f(x) \leqslant \left(2k+\frac{1}{2}\right)\pi$,$\cos f(x) \geqslant 0$, lo $f'(x) < 1$ en los intervalos. Así, por $f(x)$ a un aumento de $\left(2k-\frac{1}{2}\right)\pi$ a $\left(2k+\frac{1}{2}\right)\pi$, $x$ debe atravesar un intervalo de longitud de $> \pi$. Pero no hay suficiente espacio en el intervalo de $(0,1]$ para que, por lo que tenemos

$$f(1) - 2\pi < f(x) < f(1) + \frac{1}{3}$$

para todos los $x \in (0,\infty)$.