Número de soluciones a la ecuación.

Question

La pregunta dice lo siguiente:

Que $p$ $k$ ser enteros positivos tales que $p$ es el primer y $k > 1$. Demostrar que existe a lo más un par $(x, y)$ de enteros positivos tales que $x^k + px = y^k$.

Trabajé $x$ para ser $1$ $x = (y^k-x^k)/p$ $p$ Dónde está primer. Por lo tanto para $x$ que % real $y^k - x^k$debe ser $p$. Sin embargo no puedo demostrarlo $y$. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

En la hipótesis, supongamos que $$x^k+px=y^k$$ Write this as $$x(x^{k-1}+p)=y^k$$ Anything that divides both $x$ and $x^{k-1}+p$ must divide $p$, hence, must be 1 or $p$.

Primer caso: $\gcd(x,x^{k-1}+p)=1$. Entonces tenemos dos primos relativos numebrs cuyo producto es un $k$th el poder, así que (por única factorización) cada uno debe ser un $k$th poder; $$x=r^k,\quad x^{k-1}+p=s^k$$ for some $r$ and $s$. Putting these together, $$p=s^k-(r^{k-1})^k=(s-r^{k-1})(s^{k-1}+\cdots+r^{(k-1)^2})$$ from which we deduce $s=1+r^{k-1}$. This gives us an equation of the form $p=f(r)$ where $f$ is a polynomial with positive coefficients, hence an increasing function, hence, for any given $p$, there is at most one value of $r$ satisfying $f(r)=p$. Thus, there is at most one value of $x$, and at most one value of $$ y.

Segundo caso: $\gcd(x,x^{k-1}+p)=p$. Luego $$x=pr^k,\quad x^{k-1}+p=p^{k-1}s^k\tag1$$ or $$x=p^{k-1}r^k,\quad x^{k-1}+p=ps^k\tag2$$ From (1), we deduce $$p^{k-2}r^{k(k-1)}+1=p^{k-2}s^k$$ which implies $k=2$ and thus $r^2+1=s^2$, lo cual es absurdo.

A partir de (2), se deduce $$s^k-(p^{k-2}r^{k-1})^k=1$$, que es también absurdo, así que hemos terminado.