Cómo encontrar el determinante de esta matriz

Question

¿Tengo que calcular el determinante de esta matriz: %#% $ de #% es allí cualquier manera inteligente para encontrar el determinante de por encima de la matriz?

Gracias de antemano.

Answer 1

Si utilizamos la definición de permutación del determinante, donde $det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^\sigma \prod a_{i, \sigma(i)}$ vemos que las permutaciones sólo dos términos distinto de cero que la permutación de la identidad y la permutación $(n ~n-1 ~n-2~ \ldots ~ 1)$. Esta permutación tiene signo $(-1)^{n-1}$, que $$det(A) = a_1 a_2 \ldots a_n + (-1)^{n-1} b_1 b_2 \ldots b_n$ $

Otro método sería ampliar a lo largo de la primera columna:

Conseguimos $a_1 \det(\begin{bmatrix} a_2 & 0 & \ldots & 0 \\ b_2 & a_3 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \ldots & b_{n-1} & a_n \\ \end{bmatrix} - b_1 \det(\begin{bmatrix} 0 & 0 & \ldots & b_n \\ b_2 & a_3 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \ldots & b_{n-1} & a_n \\ \end{bmatrix}$ si nos preforma $n-2$ columna swaps a la segunda matriz obtenemos una matriz triangular superior, mientras que la primera matriz es más baja triangular lo que conseguimos $a_1 a_2 \ldots a_n + (-1)^{n-1} b_1 \ldots b_n$

Answer 2

Usted puede utilizar la definición del determinante como la suma de todos los patrones multiplicado por la firma de dicho patrones un patrón es una colección de $n$ términos distintos de la matriz, uno término de cada fila y de cada columna. El signo de un patrón es $-1$ elevado al número de veces que una entrada en la matriz que aparece arriba y a la derecha de otra entrada en el mismo patrón en la propia matriz. (Cuando una entrada aparece arriba y a la derecha de otro en un patrón, esto se llama inversión.)

En su caso, el factor determinante sería entonces $$ \det a = \prod_{i=1}^na_i + (-1)^{n-1}\prod_{i=1}^nb_i, $$ desde $a_1,\ldots,a_n$ $b_1,\ldots,b_n$ son los dos únicos patrones sin un cero en la entrada. El $n-1$ en el exponente viene del hecho de que el patrón particular $b_1,\ldots,b_n$ $n-1$ de las inversiones, uno proveniente de cada una de $b_1,\ldots,b_{n-1}$ desde $b_n$ está por encima y a la derecha de cada una de las $n-1$ términos de $b_i$.