Definición de anillo Vs Rng

Question

Cuando me tomó álgebra abstracta me enteré de que un anillo es un conjunto que es un grupo abelian bajo la suma y la monoid en virtud de la multiplicación (junto con la propiedad distributiva).

En preparación para guiar a alguien en el álgebra me he dado cuenta de que algunos libros presentan un anillo como lo que conocemos como un "rng" o un grupo abelian bajo la suma y una semi-grupo bajo la multiplicación.

¿Hay alguna razón para preferir uno como la definición de un anillo vs el otro?

EDITAR Y muy relacionado con la pregunta, ¿hay alguna matemáticas de la autoridad o de consenso que ha dictado/especifica que es más correcto usar el anillo/anillo con unidad o el rng/anillo de definición?

Answer 1

No hay matemáticas autoridades. No son sólo convenciones, y en cuanto puedo decirle a la convención que "anillo" significa "anillo sin identidad" sólo se puede remontar de nuevo a la gente que se enteró de álgebra uso de Hungerford.

La razón principal para preferir el "anillo" que significa "anillo con identidad" es que estoy bastante seguro de que es estadísticamente dominante de la convención, aunque no tengo la estadística a la realidad que una copia de seguridad. (A menos que esto no es lo que quieres decir por "la razón", en cuyo caso voy a adivinar otro posible significado: para la mayoría de las aplicaciones, sus anillos se han identidades.)

Answer 2

Wikipedia tenía una gran discusión sobre esto entre 2003 y 2008 incluyendo un análisis de publicaciones y comentarios sobre Bourbaki y Universidad de Cambridge cambiando para requerir un 1.

No parece haber un consenso, pero parece que hay una tendencia hacia textos más modernos y más avanzados, siendo más propensos a requerir un 1.

Answer 3

La definición estándar de un anillo $R$ es que $R$ es un grupo abelian bajo adición y un semi-grupo bajo multiplicación. Generalmente no se requiere la existencia de la identidad multiplicativa. Si los anillos se definen de la manera "monoid bajo multiplicación" no podemos considerar el conjunto de $\{0\}$ como el anillo más pequeño posible. (Veo que Artin define los anillos de la manera "monoid bajo multiplicación" donde no Dummit y Foote, Herstein. Así que hay inconsistencia en la definición estándar).