Encontrar todas las soluciones de enteros para la ecuación de $\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{zy}{x}=15$

Question

Estaba pasando uno de mis libros de matemáticas y llegué a este problema:

Encontrar todas las soluciones de enteros para la ecuación: $\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{zy}{x}=15$

He intentado algunas cosas para comenzar con pero ninguno entró en la dirección correcta, alguna sugerencia?

Otra cosa, si tenemos el lado izquierdo de la ecuación sea igual a 9, se supone 16 soluciones en números enteros. ¿De qué manera puede se encontrar?

Answer 1

1. En primer lugar, supongamos que el $x,y,z$ son enteros positivos satisfacción la propuesta de la igualdad. Entonces $$ xyz(15-x-y-z)=\frac{1}{2}\left((xy-yz)^2+(yz-zx)^2+(zx-xy)^2\right)\ge0$$ Así que tenemos $x+y+z\le 15$.

2. Ahora, tenga en cuenta que las plazas modulo 5 $\{0,-1,1\}$. Por lo tanto, si la suma de tres cuadrados módulo $5 $$0$, a continuación, todos los tres de ellos son múltiplos de $5$, (en el caso de $0+0+0$) o exactamente uno de ellos es un múltiplo de a $5$ y los otros dos son igual a $+1$ $-1$ modulo $5$, ( en el caso de $0+1-1$). En ambos casos $5$ divide al menos uno de los tres números. La igualdad $$(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2=15xyz\equiv 0\mod 5\tag1$$ se muestra entonces que uno de los números de $xy,yz,zx$ es un múltiplo de a $5$. Así, se puede y se suponga que $x=5a$. Pero, a continuación, $(1)$ demuestra que $5$ debe dividir $yz$ y de nuevo podemos suponer que $ y=5 b$.

3. Ahora, $5+5+1\le 5a+5b+z\le15$ implica que el$ a=b=1$$x=y=5$) y la ecuación implica entonces que $z=5$. Llegamos a la conclusión de que $(5,5,5)$ es la única solución que consiste de todos los números positivos.
4. El caso general. Supongamos que $x=sx'$,$y=ty'$ y $z=uz'$ es una solución para la ecuación donde $x',y',z'$ son enteros positivos, y $s,t,u$$\pm1$. Se sigue de $$xyz\left(\frac{1}{x^2}+ \frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)=15$$ Que $$stu x'y'z'\left(\frac{1}{x'^2}+ \frac{1}{y'^2}+\frac{1}{z'^2}\right)=15$$ Esto implica que $stu=1$ y $$ x'y'z'\left(\frac{1}{x'^2}+ \frac{1}{y'^2}+\frac{1}{z'^2}\right)=15$$ Por eso, $x'=y'=z'=5$ y exactamente dos de $s,t,u$ igual $-1$, o son todos iguales a $+1$. Esto da el siguiente conjunto de soluciones $$\{(5,5,5),(-5,-5,5),(-5,5,-5),(5,-5,-5)\}.$$

Answer 2

Ya que obviamente $xyz\ne 0$, que $ $$(xy)^2+(xz)^2+(yz)^2=15xyz\iff (y^2+z^2)x^2-(15yz)x+(yz)^2=0$ por lo tanto, el discriminante debe ser no negativo. $ $$(15yz)^2-4(y^2+z^2)(yz)^2\ge 0$$ It follows $$y^2+z^2\le 56$$ This involves only the set $\mathcal S de los primeros siete plazas $$\mathcal S=\{1,4,9,16,25,36,49\}$$ Searching for $x=y=z$ one has $3x^4=15x^3$ whose only solution is $x=5$ which can be done with $y=\pm 5$ and $z=\pm 5$.

Entonces hacemos una tabla en la que descartamos el % de casos $x=y=z$y $y=z$ porque en esos casos la ecuación $2X^2-15X+1=0$ no tiene ninguna solución racional.

$$\begin{array}{|c|c|}\hline x & y^2+z^2 & yz\\\hline 1&5&4\\\hline1&10&9\\\hline 1&17&16\\\hline1&26&25\\\hline1&37&36\\\hline1&50&49\\\hline2&13&36\\\hline2&20&64\\\hline2&29&100\\\hline2&40&144\\\hline2&53&196\\\hline 3&25&144\\\hline3&34&225\\\hline 3&45&324\\\hline4&41&400\\\hline4&52&576\\\hline\end{array}$ $ Debido a la congruencia $$x^2(y^2+z^2)+(yz)^2\equiv 0\pmod 5$$ the discarding of this sixteen it is straightforward. Thus there are only four solutions basically refered to the $(|x|,|y|,|z|) = signes (5,5,5) de $ changing1 en dos de las variables.

Answer 3

La traducción de la ecuación a la forma $$(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2=15xyz,\qquad(1)$$ fácil ver que $xyz>0.$ Eso significa que todas las soluciones con diferentes signos pueden ser obtenidos a partir de soluciones positivas del signo colocación de dos incógnitas al mismo tiempo. Así que podemos buscar soluciones positivas, $$x,y,z>0.$$

Todas las raíces racionales de la ecuación con coeficientes enteros $$\left(\dfrac{yz}x\right)^2-15\dfrac{yz}x+y^2+z^2=0$$ tiene que ser entero, por lo $x\ |\ yz$ y de manera similar a $y\ |\ zx,\ z\ |\ xy.$
Vamos $$u=\dfrac{xy}z,\quad v=\dfrac{yz}x,\quad w=\dfrac{zx}y,$$ a continuación, obtenemos $$u+v+w=15,\quad u,v,w,\sqrt{uv},\sqrt{vw},\sqrt{wu}\in\mathbb N$$ con la única solución $$u=v=w=5,$$ $$x=\sqrt{uw}=5,\quad y=\sqrt{uv}=5,\quad z=\sqrt{vw}=5.$$ Por lo que el conjunto solución es $$\boxed{(x,y,z)\in\{(5,5,5),(5,-5,-5),(-5,5,-5),(-5,-5,5)\}.}$$

Nota

Para la ecuación de $LHS=9$ hemos $$u+v+w=9,\quad u,v,w,\sqrt{uv},\sqrt{vw},\sqrt{wu}\in\mathbb N$$ con las soluciones $$(u,v,w)=\{(4,4,1), (4,1,4), (1,4,4), (3,3,3)\},$$ así que las soluciones positivas de $LHS=9$ $$(x,y,z)=\{(2,4,2),(4,2,2),(2,2,4),(3,3,3)\}$$ y con la cuenta a la par de signos de permutaciones tenemos 16 soluciones.