¿por qué está bien definida esta composición?

Question

Empecemos con una definición: una clase de morfismos $S\subset\mathrm{Mor}\;B$ (donde $B$ es una categoría) se dice que es localizador si se cumplen las siguientes condiciones:

a) $S$ es cerrado bajo composición: $id_X\in S$ para cualquier $X\in\mathrm{Ob}\;B$ y $st\in S$ para cualquier $s,t\in S$ siempre que se defina la composición.

b) Condiciones de ampliación: para cualquier $f\in\mathrm{Mor}\;B$ , $s\in S$ ( $f:X\rightarrow Y$ , $s:Z\rightarrow Y$ ) existe $g\in\mathrm{Mor}\;B$ , $t\in S$ ( $g:W\rightarrow Z$ , $t:W\rightarrow X$ ) tal que $ft=sg$ y si las flechas están en la otra dirección tenemos $tf=gs$ .

c) Que $f,g$ sean dos morfismos de $X$ a $Y$ la existencia de $s\in S$ con $sf=sg$ equivale a la existencia de $t\in S$ con $ft=gt$ .

Así que supongamos que $S$ está localizando.

Ahora un techo es un par $(s,f)$ con $s\in S$ y $f\in\mathrm{Mor}\;B$ , $s:X^\prime\rightarrow X$ y $f:X^\prime\rightarrow Y$ .

Supongamos que tenemos un techo $(s,f)$ $s:X^\prime\rightarrow X$ y $f:X^\prime\rightarrow Y$ y un segundo techo $(t,g)$ $t:X^{\prime\prime}\rightarrow X$ y $g:X^{\prime\prime}\rightarrow Y$ . Decimos que estos dos techos son equivalentes si existe un tercer techo $(r,h)$ $r:X^{\prime\prime\prime}\rightarrow X^\prime$ , $h:X^{\prime\prime\prime}\rightarrow X^{\prime\prime}$ tal que $sr=th$ y $fr=gh$ .

Si tenemos dos techos $(s,f)$ y $(t,g)$ ( $s:X^\prime\rightarrow X, f:X^\prime\rightarrow Y, t:Y^\prime\rightarrow Y, g:Y^\prime\rightarrow Z$ ) podemos componerlos. En primer lugar utilizamos la propiedad b de la clase localizadora de morfismos $S$ en los morfismos $f,t$ para conseguir $t^\prime:X^{\prime\prime}\rightarrow X^{\prime}$ y $f^\prime:X^{\prime\prime}\rightarrow Y^\prime$ , de tal manera que $ft^\prime=tf^\prime$ . Así que la composición de $(s,f)$ y $(t,g)$ es por definición $(st^\prime, gf^\prime)$ .

¿Podría ayudarme a demostrar que esta composición está bien definida? Es decir, que no depende de la elección del representante de las clases de equivalencia?

Lo he intentado pero las cosas se complican mucho

Answer 1

Creo que este (buen) ejercicio de uso del cálculo de fracciones se hace un poco más difícil de lo necesario porque Gel'fand-Manin formula los axiomas de forma autodual. Como estamos tratando con (lo que yo llamo) fracciones derechas Parece una buena idea aislar las partes necesarias de los axiomas para este ejercicio. Que esto es posible se insinúa en comentario 9 siguiendo el lema que estás tratando de entender. Las pruebas a veces se vuelven más fáciles cuando uno reduce las opciones que tiene y este es un caso, creo.

Para llegar a las matemáticas, los axiomas para fracciones derechas leer:

Dejemos que $\mathscr{C}$ sea una categoría. Una colección $\Sigma$ de morfismos en $\mathscr{C}$ se llama sistema multiplicativo derecho (o conjunto denominador derecho ) si

• [RF 0] (no trivialidad): el morfismo de identidad de cada objeto pertenece a $\Sigma$ para todos los objetos $C \in \mathscr{C}$ tenemos $1_C \in \Sigma$ .

• [RF 1] (composición): si $s\colon A \to A'$ y $s'\colon A' \to A''$ son morfismos componibles de $\Sigma$ entonces $s's\colon A \to A''$ pertenece a $\Sigma$ También.

• [RF 2] ( Condición del mineral ): Dado un morfismo arbitrario $f\colon A \to B$ y un morfismo $t\colon B' \to B$ de $\Sigma$ existe un cuadrado conmutativo

  

  con $s\colon A' \to A$ de $\Sigma$ .
  Nota: Si $f$ resulta ser de $\Sigma$ lo hacemos no supongamos que podemos elegir $f'$ para ser de $\Sigma$ Sin embargo, podemos decir que la composición $sf' = tf$ pertenece a $\Sigma$ por [RF 1] porque ambos $t$ y $f$ hacer.

• [RF 3] (condición de cancelación): Si $f,g\colon A \rightrightarrows B$ son dos morfismos paralelos tales que hay $s\colon B \to B'$ de $\Sigma$ tal que $sf = sg$ , entonces hay $t\colon A' \to A$ de $\Sigma$ tal que $ft = gt$ .

Utilizo la notación $(f/s)$ con $s \in \Sigma$ para representar un fracción derecha $A \xleftarrow{s} A' \xrightarrow{f} B$ (una "izquierda $\Sigma$ -techo" en la terminología de Gel'fand-Manin): mi razón de ser para el cambio de nombre en la mano es que $(f/s)$ representa " $f \circ s^{-1}$ " en la categoría localizada $\mathscr{C}[\Sigma^{-1}]$ Así que componemos $f$ con $s^{-1}$ en el a la derecha para obtener un morfismo $A \to B$ en $\mathscr{C}[\Sigma^{-1}]$ .

Los axiomas anteriores son suficientes para demostrar que equivalencia de fracciones (derecho) es efectivamente una relación de equivalencia. La definición de equivalencia de fracciones tal y como está redactada en Gel'fand-Manin es algo confusa porque puede sugerir una interpretación incorrecta (como se ve en tu pregunta). Aquí está el diagrama que define la equivalencia entre $(f_1/s_1)$ y $(f_2/s_2)$ que se pretende realmente:

Nótese que los morfismos verticales $\bar r_1$ y $\bar r_2$ en este diagrama se denotan por $r$ y $h$ por Gel'fand-Manin y ni de ellos se supone que pertenecen a $\Sigma$ . Qué es se supone que está en $\sigma$ es la composición $\bar{s} = s_1\bar{r}_1 = s_2\bar{r}_2$ .

Si lees la demostración del Lemma 8 a) de Gel'fand-Manin con esta definición en mente, verás que en realidad demuestran que la relación anterior es transitiva (sólo usando las partes de sus axiomas que di arriba), así que daré por sentado ese resultado.

Antes de seguir adelante, una trivial pero útil

Observación. El diagrama de equivalencia no sólo nos dice que $(f_1/s\vphantom{f}_1)$ y $(f_2/s\vphantom{f}_2)$ son equivalentes, sino que ambos son equivalentes a su expansión común $(\bar f/\bar s)$ La mitad superior exhibe $(\bar{f}/\bar{s})$ para que sea equivalente a $(f_1/s\vphantom{f}_1)$ y la mitad inferior da que $(\bar{f}/\bar{s})$ equivale a $(f_2/s\vphantom{f}_2)$ .

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Creo que es instructivo dividir tu pregunta en pequeños y sencillos pasos en lugar de demostrar la buena definición general de un solo golpe, así que ese es el camino que tomaré a continuación. Daré los detalles de la mayor parte de la argumentación y creo que es seguro dejar el resto sólo en un esbozo. La ruta directa es, por supuesto, posible, pero, como has mencionado, se vuelve algo engorrosa.

Una observación crucial para demostrar la buena definición de la composición en la categoría de fracciones es que la condición Ore [RF 2] lee $fs = tf'$ o " $t^{-1} \circ f = f' \circ s^{-1}$ ", por lo que no es demasiado sorprendente que tengamos lo siguiente:

Lema. Dada una cuña $A \xrightarrow{f} B \xleftarrow{t} B'$ en $\mathscr{C}$ con $t \in \Sigma$ , dos fracciones derechas cualesquiera $(f_1/s_1)$ y $(f_2/s_2)$ tal que $tf_1 = fs_1$ y $tf_2 = fs_2$ son equivalentes: "hasta la equivalencia de fracciones sólo hay un cuadrado de Ore sobre cualquier cuña".

(Esta observación es una variante de la heurística del principio de comentario 7 en Gel'fand-Manin)

Prueba. Nos dan los dos cuadrados conmutativos

y aplicamos la condición Ore a la cuña $A_1 \xrightarrow{s_1} A \xleftarrow{s_2} A_2$ para obtener el cuadrado conmutativo

Observe que $s := s_1s_1' = s_2s_2' \in \Sigma$ debido al axioma de composición. Además, tenemos $$ t f_1 s_1' = f s_1 s_1' = f s_2 s_2' = t f_2 s_2' $$ para que haya $s'\colon A'' \to A'$ tal que $f_1 s_1' s' = f_2 s_2' s'$ por el axioma de cancelación.

Pero esto significa que el diagrama

es conmutativo, demostrando la equivalencia de $(f_1/t_1)$ y $(f_2/t_2)$ .

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Por último, esto es lo que lleva a la conclusión deseada:

1. Para componer $(g/t)$ con $(f/s)$ aplicar la condición Ore a $f$ y $t$ para obtener el diagrama

   

   y aplicar el lema para demostrar que la clase de equivalencia de la composición $(g/t) \circ (f/s)$ es independiente del cuadrado de Ore elegido sobre $f$ y $t$ .

2. Sustituir $(f/s)$ por una expansión $(f_1/s_1) = (fr/sr)$ para ver que las composiciones $(g/t) \circ (f/s)$ y $(g/s) \circ (f_1/s_1)$ son equivalentes, como muestra el siguiente diagrama

   

   (este diagrama es todo lo que necesitas para este caso).

3. Del mismo modo, sustituya $(g/t)$ por una expansión $(g_1/t_1)$ para ver que las composiciones $(g/t) \circ (f/s)$ y $(g_1/t_1) \circ (f/s)$ son equivalentes (dejo este caso como ejercicio).

4. Combina 2. y 3. y utiliza la transitividad de la equivalencia de fracciones derechas para ver que las composiciones $(g/t) \circ (f/t)$ y $(g_1/t_1) \circ (f_1/s_1)$ son equivalentes: $(g/s) \circ (f/s) \sim (g/s) \circ (f_1/s_1) \sim (g_1/s_1) \circ (f_1/s_1)$ , proporcionó $(f_1,s_1)$ y $(g_1/t_1)$ son expansiones de $(f/t)$ y $(g/t)$ respectivamente.

5. Utiliza la transitividad de la equivalencia de fracciones para ver que si $(f/s) \sim (f'/s')$ y $(g/t) \sim (g'/t')$ llevar a $(g/t) \circ (f/s) \sim (g'/t') \circ (f'/s')$ utilizando 4. para comparar $(f/s)$ y $(f'/s')$ a una expansión común $(f_1/s_1)$ así como $(g/t)$ y $(g'/t')$ a una expansión común $(g_1/t_1)$ .

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Para terminar, permítanme dirigirles a este hilo para una discusión de cuestiones relacionadas, algunas observaciones sobre el significado de la condición "2-de-3" que mencionó Agustí (se llama saturación en el otro hilo), así como algunos enlaces y referencias útiles al final la respuesta.

Answer 2

Hoy no tengo tiempo para pensar en su prueba, pero me gustaría compartir algunas heurísticas sobre los techos. Tal vez puedan ser útiles.

Estos techos $(s,f)$ (o sus clases módulo la relación de equivalencia que ha recordado) son los morfismos de la categoría localizada $S^{-1}B$ o $B[S^{-1}]$ . Los objetos de esta categoría son los de $B$ y morfismos esas clases de las que estamos hablando, pero lo que en realidad queremos es simplemente añadir a los morfismos de $B$ los "inversos" de los morfismos en $S$ -aunque no sean isomorfismos en $B$ .

Creo que hay dos formas de "visualizar" estos morfismos de $S^{-1}B$ . En primer lugar, recordando que (la clase de) un techo tal $(s,f)$ en $S^{-1}B$ es un morfismo de $X$ a $Y$ :

$$ X \stackrel{s}{\longleftarrow} X' \stackrel{f}{\longrightarrow} Y $$

porque $s$ en $S^{-1}B$ es un isomorfismo. Por lo tanto, también se puede escribir como $fs^{-1} : X \longrightarrow Y$ en $S^{-1}B$ . O, aún más atractivo, como

$$ \dfrac{f}{s} \ . $$

Lamentablemente, no tengo conmigo el libro de Gelfand y Manin, pero sospecho que hay algo que falta y podría ser lo siguiente: en esta situación, no preguntamos $S$ sólo para ser cerrado por la composición, sino para tener la dos de tres que dice que siempre que tengas una composición como $u = th$ en el que dos de los morfismos están en $S$ entonces también lo es la tercera. Así, por ejemplo, si $u,t \in S$ entonces también $h \in S$ . Esta propiedad de dos de tres se verifica siempre con las clases $S$ definidos como aquellos morfismos que se convierten en isomorfismos después de aplicar algún funtor (algún funtor de homología, por ejemplo).

Por lo tanto, en este caso, la relación de equivalencia de los techos es efectivamente simétrica: ya que $sr = th$ y $s, r, t \in S$ también tenemos $h\in S$ .

Este largo rodeo quiere llegar a la siguiente heurística: la relación de equivalencia de los techos es simplemente

$$ \dfrac{f}{s} = \dfrac{fr}{sr} = \dfrac{gh}{th} = \dfrac{g}{t} \ , $$

porque se pueden "anular" tipos invertibles como $r$ y $h$ ¿No es así? :-)