Topología de cortes de rama e integrales elípticas

Question

En la lectura de estas notas (curvas elípticas a partir de las integrales elípticas) me encontré con un par de reclamos acerca de la topología de algunas superficies complejas.

En la página 4, se discute la integral $$\phi(x) = \int_0 ^x \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}$$ Con el fin de definir en todos los de $\mathbb C$, usted tiene que utilizar una rama cortada; se pegue dos copias de $\mathbb C$ junto $[-1,1]$, en el mismo cruce de sobre manera como lo haría cuando se trata de con $\sqrt z$ (al menos, creo). Que luego dicen que esta superficie $C$ es homeomórficos a un cilindro. Sin embargo, estoy teniendo problemas para ver de una forma explícita de doblar $C$ dentro de un cilindro. Creo que podría ser que falte alguna intuición sobre lo que es un complejo de cilindro parece.

Creo que entiendo por qué $C$ sería homotopically equivalente (no estoy seguro si ese es el mejor término) a un cilindro, porque hay un conjunto de bucles de ir alrededor de la rama de corte, y si se evita la integración a través de la rama de corte de los otros son null-homotópica. Pero, ¿por qué el pegamento de dos copias de $\mathbb C$ juntos, si vas a evitar la integración a través de la rama de corte?

Yo también no acababa de conseguir que dicen que $C$ también puede ser definida como $\{ (x,y) \in \mathbb C ^2 : x^2 + y^2 = 1 \}$; es justo que podemos integrar a $dx/y$$C$, debido a que el diferencial en $C$ se ve como el diferencial en $\phi$?

Ellos hacen demandas similares a las de una página más adelante acerca de $$ \psi (x) = \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{t(t-1)(t-\lambda)}}$$ pero creo que mis problemas son básicamente los mismos.

Answer 1

He aquí una explicación de lo que está pasando; no he comparted directamente con las notas que el vínculo, pero que seguramente va a decir algo esencialmente equivalente:

El diferencial de $dt/\sqrt{1-t^2}$ no está definido de manera inequívoca en el $t$-plano, debido a que el denominador $\sqrt{1-t^2}$ no lo es. Si hacemos un corte a lo largo de $[-1,1]$ a continuación, se obtiene una región homeomórficos a un cilindro (como se puede ver mirando --- pero si este es tu punto de confusión, sentirse libre para decirlo en los comentarios), en la que podemos definir dos ramas de $dt/\sqrt{1-t^2}$.

Si queremos "pegamento" de estas dos ramas se unen en un único diferencial en una sola superficie de Riemann, entonces tenemos que considerar la superficie de Riemann $C:= \{(x,y) \, | \, y^2 = 1 - x^2\}$; en esta superficie, se identifican $x$$t$, por lo que el $y$ es entonces una de las dos opciones de $\sqrt{1-t^2}$. El diferencial puede entonces escribirse como $dx/y$.

Si definimos el mapa de $\pi: C \to \mathbb C$ via $(x,y) \mapsto x$ then the restriction of $\pi$ to the preimage of $\mathbb C \setminus [-1,1]$ es $2$a-$1$, y de hecho esta es la preimagen discontinuo de la unión de dos copias de $\mathbb C\setminus [-1,1]$; esto es sólo una consecuencia del hecho de que en el plano de corte, se puede optar $\sqrt{1-t^2}$ en dos distintas y bien definidas maneras.

La curva total $C$ es, sin embargo, conectada: consta de dos copias de $\mathbb C \setminus [-1,1]$ que se encuentran más de $\mathbb C\setminus [-1,1]$, pegadas a lo largo de un círculo (la preimagen en$\pi$$[-1,1]$). El encolado de dos cilindros a lo largo de una frontera común círculo, simplemente se le da a otro cilindro, y así $C$ es de hecho homeomórficos a un cilindro.

Otra forma de verlo es pensar como homeomórficos de una esfera con dos puntos retirados; esto es topológicamente el mismo como un cilindro.