¿Existe una prueba de que la expansión del espacio produce observadores en todos los puntos que ven lo que nosotros vemos?

Question

Sé que las galaxias se alejan de nosotros, y por eso puedo ver que es intuitivo que si el espacio se estuviera expandiendo, entonces las observaciones astronómicas desde la Tierra serían las mismas que en todos los demás puntos del universo.

Pero es que la intuición suele pasar por alto los detalles. Entonces, lo que me gustaría saber, es si hay pruebas de que el espacio en expansión suave en 4 dimensiones, acomoda cada punto de observación de esta manera.

¿Alguien lo sabe?

Answer 1

Sí.

Puedes hacer un modelo donde tengas coordenadas $t, x,y,z$ donde para cualquier $x,y,z$ el universo se ve igual.

La métrica termina siendo, por ejemplo, como $$ds^2=dt^2-(a(t))^2(dx^2+dy^2+dz^2)$$ y puedes mover tu $x,y,z$ para tener cualquier valor y todo se ve igual (aunque las cosas se ven diferentes para diferentes valores de $t$ ). Al final, las densidades de la materia y de la radiación son únicamente funciones de $t$ (que es sólo una coordenada, no dice la velocidad de los relojes, que dependerá de la trayectoria de los relojes y depende de la métrica completa anterior). Y luego también hay que resolver para $a(t)$ en función del tiempo.

La función $a(t)$ relaciona las distancias por coordenadas con las distancias métricas reales. Estar a una determinada distancia de coordenadas puede acabar siendo mucho más cercano o mucho más lejano en función de cómo el factor de escala $a(t)$ cambios.

Ahora bien, tener esta métrica significa que todo se ve igual en cada punto del espacio. Pero no significa que el espacio se vea igual en todas las direcciones. Esto es porque todavía hay muchos espacios-tiempo que tienen esa métrica.

Por ejemplo, puede considerar el espacio $$\{(t,a,A,y,z):a^2+A^2=1\}.$$ Entonces $x$ puede dar la vuelta como un ángulo en el $a,A$ plano. En este espacio tenemos la misma métrica que $\{(t,x,y,z)\}$ por lo que localmente todo se ve igual pero en uno de ellos cuando viajamos por $2\pi$ en el $x$ dirección acabamos volviendo al punto de partida y eso no ocurre si nos movemos en la $y$ dirección o la $z$ dirección.

Así que si quieres que el universo se vea igual en todos los lugares y en todas las direcciones tienes que ser más cuidadoso que tener una de las métricas locales que funciona para eso. Pero eso demuestra que es difícil de comprobar.

Una forma de comprobarlo es empezar con $\{(t,x,y,z)\}$ y $d\tau^2=dt^2-(a(t))^2(dx^2+dy^2+dz^2)$ y luego hacer una transformación $x\mapsto X=x+\Delta x,$ $y\mapsto Y= y+\Delta y$ y $z\mapsto Z=z+\Delta z,$ por el hecho de ser fijo $\Delta x,$ $\Delta y,$ y $\Delta z.$ Entonces $\{(t,x,y,z)\}=\mathbb R^4=\{(t,X,Y,Z)\}$ y $dt^2-(a(t))^2(dX^2+dY^2+dZ^2)=dt^2-(a(t))^2(dx^2+dy^2+dz^2)= d\tau^2$ por lo que la traducción no cambió nada. Los objetos y las funciones son los mismos, sólo los nombres y las etiquetas que eran arbitrarios. Esto demuestra realmente que es el mismo en todos los puntos.

Luego haz otra transformación, esta vez girando $(x,y,z)$ a $(x',y',z')$ por una cantidad y dirección fijas y observando que $\{(t,x,y,z)\}=\mathbb R^4=\{(t,x',y',z')\}$ y $d\tau^2=dt^2-(a(t))^2(dx^2+dy^2+dz^2)=dt^2-(a(t))^2(dx'^2+dy'^2+dz'^2)\}.$ Esto demuestra que se ve igual en todas las direcciones.

Para ser claros, esto no se puede hacer para el caso no isotrópico que mencioné antes: $\{(t,a,A,y,z):a^2+A^2=1\}$ con $d\tau^2=dt^2-(a(t))^2(da^2+dA^2+dy^2+dz^2).$ eso es porque la rotación no mapea ese conjunto $\{(t,a,A,y,z):a^2+A^2=1\}$ a $\{(t,x,y,z)\}.$ La demostración de que son diferentes se estableció al recorrer $2\pi$ en uno te lleva de vuelta y eso no ocurre en el otro. Sólo intentaba dejar claro que realmente hemos demostrado que el espacio se ve igual en todas las direcciones cuando tenemos $\{(t,x,y,z)\}$ y $d\tau^2=dt^2-(a(t))^2(dx^2+dy^2+dz^2).$

Answer 2

Estás enfocando la cuestión desde el extremo equivocado.

La expansión del universo se describe mediante una solución particular de la ecuación de Einstein llamada Métrica FLRW . Para derivar esta métrica tenemos que hacer algunas suposiciones, y las principales son que el universo es isotrópico y homogéneo, es decir, que es igual en todas partes.

Así que el hecho de que el universo sea igual en todas partes es una suposición inicial que entra en la descripción de cómo se expande el universo. No es algo que se derive de la forma en que se expande el universo. Por supuesto, puedes demostrar que la métrica FLRW implica isotropía y homogeneidad (como hace Timeo), pero eso es porque esas suposiciones se incorporaron desde el principio.