La mejor completa, concisa, clara y rápida visión general de los fundamentos de la geometría de Riemann, que yo sepa se encuentra en el pequeño libro de la Teoría de Morse, por John Milnor. Tan lejos como la entrega de una revisión más detallada de este libro: bueno, ya he dicho Milnor; ¿necesito decir más?
Nota Añadida el miércoles 8 de julio de 2015 9:33 PM PST: a Pesar de mi anterior invocación de la honorable nombre de Milnor como una más o menos completa justificación de la utilidad y la calidad de sus Morse Teoría como una excelente fuente para agarrar rápidamente los hechos básicos de la geometría de Riemann, me pareció que podría ser útil añadir un poco sobre el contenido de este trabajo, si por ninguna otra razón que para responder plenamente a nuestros OP pregunta, y por lo tanto si es posible guardar de ella o de él algún tiempo en encontrar el lugar adecuado para aprender lo que él/ella necesita saber. El libro, como el título indica, está dirigido hacia Marston Morse de la teoría de puntos críticos, una herramienta esencial de diferencial topologists; sino que se centra en la ampliación de la teoría de Morse geodesics, la aplicación de su punto crítico de la teoría a la relación entre la convergencia/divergencia de geodesics y el colector de la topología. En este libro, como en otros lugares, la crítica punto de análisis es utilizado para descubrir los hechos acerca de la topología de la ruta de los espacios, y en última instancia para demostrar la periodicidad de Bott teoremas para revelar aspectos de la estructura de la mayor homotopy grupos de la Mentira de los grupos de $O(n)$ $U(n)$ etc. Esto se hace mediante el estudio de conjugar los puntos, es decir, los puntos a lo largo de un determinado geodésico donde los campos de Jacobi, es decir, los campos vectoriales $W(t)$ a lo largo de la línea geodésica $\gamma(t)$ satisfactorio
$\nabla_{\dot \gamma} \nabla_{\dot \gamma} W + R(\dot \gamma, W)\dot \gamma = 0, \tag{1}$
donde $R$ denota el tensor de Riemann, se desvanecen, después de haber sido inicializado con $W(0) = 0$, $\nabla_{\dot \gamma}W$ arbitrario.
Ahora sé muy poco acerca de la geometría algebraica; de hecho, estoy aprendiendo algo de ella, lenta y seguramente, principalmente mediante la lectura de los posts aquí y en Matemáticas de Desbordamiento. Pero sospecho que la principal utilidad de la geometría de Riemann para la algebraicas tipo se encuentra en la teoría de la característica de las clases, que cuantificar algunas propiedades importantes de la tangente y otro vector haces; aquí el tensor de Riemann de campo juega un papel esencial, por ejemplo, el de Euler cohomology de clase, cuya evaluación en la parte superior de la homología de la clase $[M]$ del colector $M$ bajo estudio, los rendimientos de Euler-Poincaré número de característica, puede ser expresado de manera local como un polinomio en los componentes de $R$; el de Gauss-Bonnet teorema es quizás el más elemental ejemplo de este resultado. Así que tal vez Milnor del libro va en una dirección diferente, que se adapta mejor a las necesidades de una expresión algebraica aparejador; pero en términos de aprendizaje de los conceptos básicos, que es, en mi humilde opinión, difícil de superar. Y después de la lectura de la Teoría de Morse, uno siempre puede abordar Milnor es Característico de las Clases, que de hecho puede ser más adecuado a las necesidades de aquellos que buscan la geometría algebraica. Final de la Nota.
