Extendiendo un subconjunto de $\mathbb{Z}^n$ a una base

Question

Dejar $v_1,\dots,v_k\in \mathbb{Z}^n$. ¿Existe un buen criterio para la existencia de$v_{k+1},\ldots,v_n \in\mathbb{Z}^n$ tal que$v_1,\ldots,v_n$ forman una base de$\mathbb{Z}^n$?

Para$k=1$, si$v_1 = (a_1,\ldots,a_n)$, no es difícil ver que es iff$\gcd(a_1,\ldots,a_n)=1$. Para mayor$k$ puedo encontrar la respuesta específica para$v_1,\ldots,v_k$ algoritmicamente, pero me gustaría saber un criterio general si hay uno.

Answer 1

El apilamiento de los vectores como un $k$a$n$ matriz$M$$k\le n$, con la condición de que las filas se extienden a una base es que el mcd de los factores determinantes de la $k$a$k$ de los menores de edad se $1$.

Prueba: por la estructura teorema de finitely generada por los módulos a través de un PID, tales como $\mathbb Z$, $A,B$ entero matrices con números enteros inversos tal que $AMB$ es diagonal. La izquierda y a la derecha de la multiplicación respeta el mcd de los menores de edad.

Por ejemplo, dada $(1,0,a,b)$ $(0,1,c,d)$ arbitrarias $a,b,c,d$ enteros, se $4$-a elegir-$2$ dos-por-dos menores de edad, y el primero es el de dos-por-dos-identidad, que ha determinante $1$, por lo que este se extenderá, tal y como la conocemos. Es cierto que hay otros dets de los menores de edad, pero la primera que se da $1$ ya.

Answer 2

No creo que hay una forma rápida, sólo tienes que comprobar si una base $v_1,...,v_k$ $\mathbb{Z}^n$. Si no entonces comprobar si $v_1,...,v_k$ es linealmente independiente.