Decide si la serie converge y demuéstralo mediante la prueba de comparación: $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{3k^{2}+k+1}{k^{4}+k^{3}+4}$

Question

Decide si la serie converge y demuéstralo mediante la prueba de comparación: $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{3k^{2}+k+1}{k^{4}+k^{3}+4}$

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{3k^{2}+k+1}{k^{4}+k^{3}+4}< \frac{k^{2}+k}{k^{4}+k^{3}} < \frac{k^{2}}{k^{4}} \leq \frac{1}{k^{2}}$$

Sabemos (por nuestras lecturas) que $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}$ es una serie convergente.

Así, la serie completa convergerá.

¿He hecho todo correctamente?

Answer 1

Siguiendo tu idea yo escribiría $$\frac{3k^{2}+k+1}{k^{4}+k^{3}+4}< \frac{3k^{2}+3k}{k^{4}+k^{3}} = \frac{3k}{k^{3}} = \frac{3}{k^{2}}.$$ En cuanto a sus desigualdades, ¿cómo justifica que $$\frac{3k^{2}+k+1}{k^{4}+k^{3}+4}< \frac{k^{2}+k}{k^{4}+k^{3}}?$$ Tenga en cuenta que si $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son números positivos $$a<c\quad \mbox{and}\quad d<b\Rightarrow \frac{a}{b}<\frac{c}{d}.$$

Answer 2

En mi opinión, esto podría escribirse con más precisión. Por ejemplo, la segunda desigualdad no parece correcta. Yo sugeriría lo siguiente. $$\frac{3k^2+k+1}{k^4+k^3+4}=\frac{k^2}{k^4} \cdot \frac{3+1/k +1/k^2}{1+1/k} \frac{1}{k^2} \cdot \frac{3 + 1+ 1}{1+1}. $$ Ahora se puede concluir que cada una de las entradas de la suma es menor o igual a $\frac{5}{2k^2}$ . Por lo tanto, según sus lecturas, la suma converge.