integración en el espacio de cinco dimensiones

Question

Estoy haciendo este problema: Considerar el diferencial de la forma

$$a=p_1 \, dq_1+p_2 \, dq_2-(p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2) \, dt\text{ in }\mathbb R^5=(p_1,p_2,q_1,q_2,t).$$

(a) Calcular el diferencial de $da$ y el formulario de $a\wedge da$.

(b) Evaluar la integral de la $\int_S da\wedge da$ donde $S$ es el 4-dim superficie en $R^5$ definido por la ecuación $p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2=t$ y la desigualdad $1\le t\le 2$.

Aquí es parte de mi solución:

(a) $da=dp_1\wedge dq_1+dp_2\wedge dq_2-2p_1dp_1\wedge dt-2p_2dp_2\wedge dt-2q_1dq_1\wedge dt-2q_2dq_2\wedge dt$

$a\wedge da=p_1dq_1\wedge(dp_2\wedge dq_2-2p_1dp_1\wedge dt-2p_2dp_2\wedge dt-2q_2dq_2\wedge dt)$ ${}+p_2dp_2\wedge(dp_1\wedge dq_1-2p_1dp_1\wedge dt-2p_2dp_2\wedge dt-2q_1dq_1\wedge dt)$ ${}-(p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2)dt\wedge(dp_1\wedge dq_1+dp_2\wedge dq_2)$

Me detuve aquí, ya que creo que esta expresión es demasiado largo. No me imagino a este problema es tan complicado.

Así que mi primera pregunta es que si hay alguna manera rápida de calcular el $a\wedge da$? O la única manera es continuar con el cálculo anterior, y dejar así que muchos de los términos allí(supongo que sólo dos pares puede ser recogida)?

(b) me di cuenta de que el integrando $$da\wedge da=d(a\wedge da)$$, so I think this is a good indicator for us to use the Stokes's theorem $$\int_Sda\wedge da=\int_{\partial S}a\wedge da$$. And $\parcial S$ is just $p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2=1$ and $p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2=2$, que supongo que es lo que la gente que hizo este problema nos quieren hacer.

Así que mi segunda pregunta es ¿cómo podemos calcular el $\int_{\partial S}a\wedge da$. Con esto quiero decir:

1. ¿Es realmente necesario calcular la integral de uno en uno(supongo que hay al menos ocho términos en la expresión de $a\wedge da$ después de la recogida de los términos)?

2. Cualquier orientación cuestiones que necesitan ser cuidadosos acerca de los dos "bolas" $p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2=1$$p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2=2$? Yo creo que es necesario el uso de la paramétrica del formulario para calcular la integral, derecho? Por cierto, ¿es realmente necesario el uso de coordenadas polares, que es de cuatro capas de $sin, cos$? o hay alguna otra manera de calcular la final de la integral?

Muchas gracias!

Answer 1

No estoy seguro de por qué se le pidió a "calcular" las formas en todos sus largas gloria. La clave es darse cuenta de esto: Como usted sugiere, $\partial S$ es la unión de los dos $3$-esferas (debidamente orientado-voy a llegar a eso en un momento). Desde $dt=0$ $\partial S$ (ya que cada componente está contenida en un sector con $t=\text{constant}$), cualquier término en $a\wedge da$ involucran $dt$ puede ser ignorado. Así, tenga en cuenta que tenemos $$a\wedge da = p_1\,dq_1\wedge dp_2\wedge dq_2 + p_2\,dq_2\wedge dp_1\wedge dq_1 + \text{terms involving } dt\,.$$ Para integrar esta $3$-forma a través de una esfera de $p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2=R^2$ es más fácil aplicar el Teorema de Stokes de nuevo, ya que este ámbito no vinculado a un $4$-dimensiones de la bola de radio $R$. Es fácil convencerse de que usted obtenga el doble del volumen de la pelota cuando se integran. Bueno, no tan rápido. Podemos obtener el negativo.

Tan lejos como orientación se refiere, en primer lugar debemos orientar la $4$-colector con límite de $S\subset\Bbb R^5$. Vamos a estar de acuerdo (desde $S$ puede parametrizar a nivel mundial por $(p_1,p_2,q_1,q_2)$) para orientar $S$ declarando $dp_1\wedge dp_2\wedge dq_1\wedge dq_2>0$$S$. (Lo $da\wedge da$ da el negativo de la forma de volumen con la presente convención.) Ahora piense en cómo orientar un cilindro $S^1\times [1,2]\subset \Bbb R^3$. Los dos límites de los componentes de la orientación opuesta, y desde el límite de la orientación está determinada por poner el exterior-señalando normal primero en la lista de vectores tangente, podemos ver que $\partial (S^1\times [1,2]) = S^1\times \{1\} - S^1\times\{2\}$. Ahora debe pensar en esto, de forma análoga, con la superficie de la $M$ dada por $z=x^2+y^2$, $1\le z\le 2$. La orientación por $dx\wedge dy = r\,dr\wedge d\theta$ vemos que $\partial M$ tiene la parte superior del círculo orientado positivamente y el círculo inferior orientada negativamente.

Yo ahora se lo dejo a usted para resolver todos los signos en su problema en $\Bbb R^5$. Usted puede ser que desee comprobar con su instructor sobre cómo $S$ es orientado. Hice una elección arbitraria.