Suma de funciones lentamente variables

Question

Llamamos a una función $L:(0,\infty)\rightarrow(0,\infty)$ poco a poco diferentes si para cada $c>0$ uno tiene $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{L(cx)}{L(x)}=1$.

Alguien me puede dar una sugerencia ¿por qué la suma de funciones es también poco a poco variando?

Answer 1

Supongamos que $L$ y $K$ poco a poco están variando y que $c > 0$.

Fijar $\epsilon > 0$. Existe un $x_0$ con la propiedad implica que el $x \ge x_0$ $$\left| \frac{L(cx)}{L(x)} - 1 \right| < \epsilon \quad \text{and} \quad \left| \frac{K(cx)}{K(x)} - 1 \right| < \epsilon.$$ Thus $x \ge x_0$ implica $$|L(cx) - L(x)| < \epsilon L(x) \quad \text{and} \quad |K(cx) - K(x)| < \epsilon K(x).$ $ ahora aplicar la desigualdad del triángulo: Si dos desigualdades anteriores se mantienen entonces $$|(L(cx) + K(cx)) - (L(x) + K(x))| \le |L(cx) - L(x)| + |K(cx) - K(x)| < \epsilon (L(x) + K(x))$$ so that $x \ge x_0$ implies $$\left| \frac{L(cx) + K(cx)}{L(x) + K(x)} - 1 \right| < \epsilon.$$The conclusion is that $L # + K$ está variando poco a poco.