Todo elemento no nulo de un anillo finito es una unidad o un divisor cero

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo finito con unidad. Demostrar que todo elemento no nulo de $R$ es una unidad o un divisor de cero.

Answer 1

En un anillo finito conmutativo con unidad, cada elemento es una unidad o un divisor de cero. En efecto, dejemos que $a\in R$ y considerar el mapa en $R$ dado por $x \mapsto ax$ . Si este mapa es inyectivo, entonces tiene que ser sobreyectivo, porque $R$ es finito. Por lo tanto, $1=ax$ para algunos $x\in R$ y $a$ es una unidad. Si el mapa no es inyectivo entonces hay $u,v\in R$ con $u\ne v$ , de tal manera que $au=av$ . Pero entonces $a(u-v)=0$ y $u-v\ne0$ y así $a$ es un divisor cero.

Para el caso no conmutativo, véase esta respuesta .

Answer 2

Tu pregunta es incompleta: dices que quieres demostrar que todo elemento no nulo de $R$ es "o un divisor de cero"? Si uno inserta una unidad o antes del divisor cero, entonces obtienes una declaración verdadera, así que asumiré por ahora que eso es lo que querías decir.

En primer lugar, a raíz de un comentario de Gerry Myerson en una respuesta reciente relacionada, permítanme divulgar que para mí cero es un divisor de cero. Afirmo que esto es sólo una convención de la que deberías ser capaz de volver a traducir si lo consideras oportuno.

A continuación, tenga en cuenta que si tiene una familia $\{R_i\}_{i \in I}$ de anillos en los que cada elemento es una unidad o un divisor de cero, lo mismo ocurre en el producto cartesiano $R = \prod_{i \in I} R_i$ .

En tu caso puedes utilizar el teorema de la estructura para anillos artinianos: $R$ es un producto finito de anillos locales artinianos -- para reducir al caso en que $R$ es local artiniano. Entonces el ideal máximo es nilpotente, por lo que toda no unidad es nilpotente y en particular un divisor cero.

Answer 3

Sugerencia $\,\ \overbrace{|R|<\infty\ \Rightarrow\ r^j=r^k}^{\rm\large pigeonhole},\: j>k\ $ $\Rightarrow\ (r^{j-k}-1)\,\color{#0a0}{r^k}=0\ $ $\overset{\!\large \color{#0a0}{r\ \nmid\ 0}}\Longrightarrow\ \overbrace{r^{j-k}=1}^{\!\!\!\!\textstyle\color{#c00}r\,(r^i)\!=\!1^{\phantom{|^|}}\!\!\!\!\!\!}\, $ $\,\Rightarrow\, \color{#c00}r\, $ es una unidad

Nota: $\ $ La idea se generaliza: si un divisor no nulo $\,r\,$ es algebraico entonces divide el coeficiente de menor grado de cualquier polinomio del que sea raíz. Cuando dicho coeficiente es una unidad entonces también lo es $\:r.\:$ Por lo tanto, el resultado es válido de forma más general para cualquier anillo que satisfaga una identidad polinómica cuyo coeficiente de menor grado sea la unidad, por ejemplo, para los famosos anillos de Jacobson que satisfacen la identidad $\rm\:X^n =\: X\:.$

P. M. Cohn ha demostrado que todo anillo conmutativo $R$ puede estar incrustado en un anillo $S$ donde cada elemento de $S$ es un divisor de cero o una unidad de $R\,$ (considera que se trata de un "dual aproximado del divisor cero" de las extensiones de fracciones / localización)

Answer 4

Como una buena bala de cañón merece otra, me gustaría dar una solución utilizando anillos artinianos derechos que no son necesariamente conmutativos.

Definiciones :

Un anillo $R$ se llama fuertemente $\pi$ -regular si para todo $x\in R$ , cadenas de la forma $xR\supseteq x^2R\supseteq x^3R\supseteq\dots \supseteq x^iR\supseteq\dots$ se convierten en estacionarios.

Un anillo se llama Dedekind finito si $xy=1$ implica $yx=1$ para todos $x,y\in R$ .

Enérgicamente $\pi$ -Los anillos regulares fueron introducidos por Kaplansky en la cita de abajo. La definición suele darse en términos de " $\forall x\exists r(x^n=x^{n+1}r)$ ", pero esto es equivalente.

Además, se ha demostrado que $r$ puede ser elegido para conmutar con $x$ , por lo que la versión de la izquierda de esta definición es equivalente a ésta.

Es obvio que los anillos artinianos están fuertemente $\pi$ -regular, y resulta que también son Dedekind finitos.

Propuesta : En un fuerte $\pi$ -En los anillos finitos regulares Dedekind (en particular, los anillos artinianos de derecha o izquierda), cada elemento es una unidad o un divisor cero. (El cero se cuenta como un divisor cero).

Prueba : Dejemos que $x\in R$ sea una no unidad, y que $n$ sea mínima, de modo que exista $r$ que conmuta con $x$ y $x^n=x^{n+1}r$ . Desde $x$ no es una unidad, $n\geq 1$ . (Porque si $1=xr$ , $x$ sería una unidad por la finitud de Dedekind).

Reordenando, obtenemos $x(x^{n-1}-x^nr)=0=(x^{n-1}-x^nr)x$ desde $r$ se desplaza con $x$ . Por la minimidad de $n$ , $x^{n-1}-x^nr\neq 0$ . Así, $x$ se ha demostrado que es un divisor cero de dos caras.

---

I. Kaplansky, Representaciones topológicas de las álgebras II , Trans. Amer. Math. Soc. 68 (1950), 62-75. MR 11:317

Answer 5

Dejemos que $a$ en $R$ sea distinto de cero y supongamos que $a$ no es un divisor de cero.

Primero demostraré la propiedad de cancelación sólo para $a$ . Si $ab = ac$ entonces $ab-ac = 0$ y $a(b-c) = 0$ . Desde $a$ no es un divisor de cero, entonces $b-c = 0$ así que $b = c$ .

Considere el conjunto $\{a^n\mid n \in\mathbb N\}=\{1,a^1,a^2,...\}$

Desde $R$ es finito, debemos tener $a^i = a^j$ para algunos $i$ , $j$ con $i \gt j$ . Entonces, como tenemos la propiedad de cancelación para $a$ y tenemos $a^{i-j}a^j = 1a^j$ (recordemos que tenemos unidad), entonces la cancelación nos da $a^{i-j} = 1$ . Si $a = 1$ entonces $a$ es claramente una unidad.

Si $a\ne 1$ entonces $i-j \gt 1$ por lo que podemos factorizar una copia de $a$ para conseguir $a^{i-j-1}a^1 = 1$ .

Así, el elemento $a^{i-j-1}$ es la inversa multiplicativa de $a$ Así que $a$ es una unidad.

Por tanto, todo elemento no nulo de este anillo que no sea un divisor de cero es una unidad. En otras palabras, cada elemento distinto de cero es un divisor de cero o una unidad.

Si eliminamos la condición de finitud, el resultado no se cumple. Por ejemplo, $\mathbb Z$ es un anillo conmutativo con la unidad, pero $2$ no es ni un divisor de cero ni una unidad.