Cómo probar$D^n/S^{n-1}\cong S^n$

Question

En mi libro de texto se dice que el cociente espacio $D^n/S^{n-1}$ es homeomorfa a $S^n$. Puedo imaginar para $n=2$, pero no hacer una prueba matemática para cualquier dimensión.

¿Alguien puede proporcionar una prueba rigurosa?

Answer 1

Teorema 1: Deje $X$ ser compacto Hausdorff, vamos a $p \in X$. Si $Y$ es homeomórficos a $X \setminus \{p\}$ $X$ es homeomórficos a la de un punto de compactification de $Y$.

Teorema 2: si $X$ es compacto Hausdorff y $A \subset X$ está cerrada, $X / A$ (el cociente de $X$ bajo la relación de equivalencia que identifica a $A$ a un punto) es compacto Hausdorff así.

Ahora aplicar el Teorema de 2 a$X = D^n$$A = S^{n-1} \subset D^n$. A continuación, tenga en cuenta que el resultado con el identificado punto de quitar es sólo el interior de $D^n$, que es homeomórficos a $\mathbb{R}^n$ (utilice el mapa de $x \to \frac{x}{\|x\|+1}$ por ejemplo). Así Teorema 1, a continuación, dice que $X / A$ es homeomórficos a la de un punto de compactification de $\mathbb{R}^n$, $S^n$ (a través de la costumbre, la proyección estereográfica).

Answer 2

Usted puede hacer lo siguiente:

• En primer lugar, levante el disco hacia el hemisferio superior por el mapa $(x_1,...,x_n)\mapsto\left(x_1,...,x_n,\sqrt{1-(x_1^2+...+x_n^2)}\right)$

• A continuación, puede ajustar el hemisferio norte, alrededor de la $n$-esfera doblando el ángulo de $\theta_{n-1}$. Cada punto de $S^n$ tiene coordenadas
  $\left.\right.$
  $\begin{pmatrix} \cos\varphi\sin\theta_1\dots\sin\theta_{n-1}\\ \sin\varphi\sin\theta_1\dots\sin\theta_{n-1}\\ \vdots\\ \cos\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1}\\ \cos\theta_{n-1} \end{pmatrix}$
  $\left.\right.$
  donde$\varphi\in[0,2\pi]$$\theta_i\in[0,\pi]$. Más precisamente, este es un cociente mapa de $[0,2\pi]\times[0,\pi]\times...\times[0,\pi]$ sobre la esfera. Para los puntos en el hemisferio norte, el último ángulo de $\theta_{n-1}$ es menor que $\pi/2$. Este hemisferio es la imagen de la restricción de este cociente mapa para el producto en el que el último intervalo es sólo $[0,\pi/2]$. Viendo como un cociente de espacio ayuda a demostrar rigurosamente que la "duplicación"-mapa es inducida por un mapa continuo.

• Finalmente, muestran que este mapa se identifican dos puntos si y sólo si ambos están en el límite de $D^n$.

Answer 3

Vamos a seguir Henno la idea. Vamos a escribir $D^n = e^n \uplus S^{n-1}$, que es denotar el iterior de $D^n$ por $e^n$. $\def\R{\mathbb R}$A continuación, $e^n$ es homeomórficos a$\R^n$$f\colon e^n\ni x \mapsto x/(\def\abs#1{\left|#1\right|}1-\abs x)$. Ahora $\R^n$ es homeomórficos a $S^n - \{(0,\ldots, 0, 1)\}$ a través de la inversa de la proyección estereográfica $$ g \colon x \mapsto \left(\frac{2x}{\abs x^2 + 1}, \frac{\abs x^2-1}{\abs x^2 + 1}\right) $$ La combinación de estos dos mapas da un homeomorphism $e^n \to S^n - \{(0,\ldots, 0, 1)\}$. Ahora defina $F \colon D^n/S^{n-1}\to S^n$ mediante el envío de $S^{n-1}$$\{(0,\ldots, 0, 1)\}$.

Vamos a demostrar que $F$ es continua, ya que ambos espacios Hausdorff y compacto, $F$ es un homeomorphism entonces. Así que supongamos $e^n\ni x_k \to x \in S^{n-1}$,$\abs{f(x_k)} \to \infty$, dando $g\bigl(f(x_k)\bigr) \to (0,\ldots, 0, 1) = F(S^{n-1})$. Por lo tanto $F$ es continua en a $S^{n-1}$, en $e^n\subseteq D^n/S^{n-1}$ $F$ es continuo, como la composición de $g$$f$.