Interpretación geométrica del derivado débil

Question

Como sabemos, clásico derivado $f'(x)$ de una función $f(x)$ puede interpretarse como la tasa de cambio de función $f$ en cada punto de $x.$

¿Por qué derivado débil? Puesto que es a través de la integral definida y por lo tanto no relevante en conjuntos de medida cero, ¿qué significa para que una función que derivado débil? ¿Qué puede el débil derivado de una función, explica sobre su función?

Answer 1

Si $g$ es el débil derivado de la $f$, luego el Teorema Fundamental del Cálculo se tiene: $$f(b)-f(a) = \int_a^b g(x)\,dx \tag{1}$$ Así, aunque el $g$ no puede tener éxito en la expresión de los infinitesimales de la tasa de cambio de $f$ en cada punto, se capta la tasa de cambio de $f$ sobre todos los no-infinitesimal de la escala.

Para el propósito de la estimación de $f$, propiedad de $(1)$ es casi tan bueno como tener clásica derivados. Por ejemplo, si $g$ pasa a ser de cuadrado integrable, podemos escribir $$|f(b)-f(a)| \le \int_a^b |g(x)|\,dx \le\sqrt{b-a} \sqrt{\int_a^b |g(x)|^2\,dx}$$ y a la conclusión de que $f$ es Hölder continua con exponente $1/2$.

Para otros fines, como localizar el máximo o mínimo de $f$, la debilidad de la derivada no es la herramienta correcta. Para que uno podría utilizar otro generalizado concepto de derivada (Subderivative).