¿De cuántas maneras distintas de organizar los números de $1...n$ tal que..

Question

Deje $\{1...n\}$$k$, un número entre el $1\le k \le n$. ¿Cuántas permutaciones hay para el conjunto, donde $k$ es más pequeño que el número a la derecha.

Mi pensamiento:
Tenemos que poner $k$ en el número de células de $k$.
Entonces, tenemos $(k-1)!$ permutaciones de los números más pequeños y $(n-k)!$ para el mayor número. Todos en todos, tenemos: $(k-1)!(n-k)!$

De alguna manera, la respuesta correcta es: $$\left( {\matriz{ n \cr k \cr } } \right)(k - 1)!(n - k)!$$

Por qué?

Answer 1

Te han dado la respuesta correcta a la siguiente pregunta: ¿cuántas permutaciones hay en que $k$ es menor de todos los números a la derecha y mayor que todos los números a su izquierda. Sin embargo, la última parte no fue especificado en la pregunta que usted me hizo. Por ejemplo, si $n=7$ $k=3$ $$(2,7,1,4,3,5,6)$$ es un margen de permutación, pero no han contado con él.

Sugerencia. En primer lugar determinar qué lugares se $k$ puede ocupar. Si $j$ es un lugar, a continuación,

• hay $n-k$ números de más de $k$, y usted tiene que elegir a $n-j$ de ellos, en un orden determinado, para ocupar los lugares a la derecha de $k$;
• Ahora hay $j-1$ números de los cuales se colocan en un orden particular, a la izquierda de $k$.

Así que la respuesta va a ser $$\sum_{j=?}^{?} (?)(?)$$ - a ver si usted puede llenar lo que falta.

En la segunda pensamientos aquí es otro argumento que conduce directamente a la respuesta que le han dado.

• Elegir (sin importar el orden) los lugares a ser ocupado por los números de $1,\ldots,k$.
• Elegir el orden de estos números, recordando que $k$ debe ser el último.
• El fin de los restantes $n-k$ números en el resto de la $n-k$ lugares.

Lo mejor de todo: la respuesta que te dieron se simplifica a $$\frac{n!}{k}\ .$$ Aquí es un argumento que da este resultado inmediatamente. Hay $n!$ permutaciones de los números en total, y se determina la proporción de ellos que cumplan sus condiciones. Como en mi segunda solución, la única cosa que importa es que el $k$ debe ser el último de los números de $1,\ldots,k$ a aparecer en la permutación: mientras esto es cierto, las ubicaciones de los grandes números no importan. Entre todos los ordenamientos de los números de $1,\ldots,k$, el número de $k$ se produce con la misma frecuencia en cada una de las $k$ lugares; por lo que la proporción en la que se produce la última es $1/k$, y el número de permutaciones de $1,\ldots,n$ en que esto ocurre es $$\frac{n!}{k}$$ como se reivindica.

Answer 2

Sugerencia: no Tenemos a un lugar $k$ $k$- de células th. Podemos colocarlo en cualquiera de las células que están en el $k$-ésima posición o posterior.

Answer 3

tomar la original combinación con k en kth posición ..la llame posición inicial número de formas = (k−1)!(n−k)! ahora quitar uno de la derecha de k en la posición inicial y poner a la izquierda de k y organizarlos número de formas = (k)!(n−k-1)! (n-k,1) ahora quite los 2 de la derecha de k en la posición inicial y poner a la izquierda de k y organizarlos número de formas = (k+1)!(n−k-2)! (n-k,2) . . . . número total de maneras = ∑(desde r=0 hasta r= n-k) {(n-k,r)(n-k-r)!(k+r-1)!} reorganizar y obtener un número total de maneras = (k-1)!(n-k)!∑(mismos límites) { (k-1+r,r)}