¿Qué está mal con esta prueba de que el mapa de identidad de $S^1$ es nulohomotópico?

Question

He leído que el mapa de identidad del círculo unitario $S^1$ no es anulotópico. De hecho, soy muy nuevo en el tema, así que me pregunto qué está mal en el siguiente razonamiento (que parece sugerir lo contrario):

Si el mapa de identidad $i : S^1 \to S^1$ es anulotópico, entonces existe una homotopía $F : S^1 \times I \to S^1$ con $F(x,0)=x$ y $F(x,1)=k$, para todo $x \in S^1$. Pero esto, en otras palabras, simplemente significa que $x$ y $k$ pueden ser unidos por un camino, para cualquier $x \en S^1$ - lo cual es cierto, ya que $S^1$ es conexo por caminos.

Después de todo, ¿no podemos pensar en una homotopía de dos funciones $f, g : X \to Y$ como una función que para todo $x \en X$, nos da un camino entre $f(x)$ y $g(y)$?

Me pregunto ¿dónde está la contradicción? ¿Qué estoy pasando por alto?

Answer 1

Es cierto que si tienes una homotopía $F : X \times [0,1] \to Y$ entre $f,g : X \to Y$, entonces para todo $x \in X$ esto define un camino entre $f(x)$ y $g(x)$, dado por $t \mapsto f(x,t)

Este es un enunciado "si... entonces...". La conversa debe ser verdadera. Si te doy un mapa $F : X \times [0,1] \to Y$, y te digo que para todo $x$, $t \mapsto F(x,t)$ es continuo; en otras palabras, te doy una colección de caminos de $f(x)$ a $g(x)$ para todo $x; ¿implica que $F$ en sí es continuo? Por supuesto que no, y es bastante fácil construir contraejemplos.

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Hay una forma intuitiva de ver esto para el círculo. Imagina que tu círculo es un reloj. Digamos que quieres encontrar una homotopía entre la identidad y el mapa que es constantemente igual a las 12 en punto (es decir, $i \in S^1 = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \}$). Entonces, para cada punto $x$ del círculo tienes que encontrar un camino desde $x$ hasta las 12:00. Ya sea que vayas por la parte izquierda del círculo (en sentido horario), o que vayas por la parte derecha (en sentido antihorario).

Es bastante intuitivo que si tienes un punto justo un poco antes de las 12:00, querrás ir en sentido horario. Y si estás un poco después de las 12:00, querrás ir en sentido antihorario. Dado que quieres que todo este proceso sea continuo, esto se extenderá hasta abajo. Pero, ¿qué hay de las 6 en punto ahora? ¿Cómo eliges entre sentido horario o sentido antihorario? De cualquier manera que elijas, "romperás" el círculo por la mitad, porque un poco a la izquierda o a la derecha estarás yendo en la otra dirección. E intuitivamente, romper cosas por la mitad no es algo continuo.

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Esto no es una prueba formal, obviamente. Hay mucha teoría para demostrar realmente que es imposible encontrar una homotopía entre la identidad y un mapa constante, por ejemplo, mostrando que el grupo fundamental del círculo es $\mathbb{Z}$, lo cual no es trivial. Pero esta es la intuición: si tienes que elegir caminos continuamente desde cada $x \in S^1$ hacia un $x_0 \in S^1$ fijo, tendrás que "romper" el círculo por la mitad tarde o temprano, y esto no es continuo.

Answer 2

Recordemos la definición formal de una homotopía entre $f$ y $g$. Supongamos que $f, g : X\to Y$ son funciones continuas, entonces una homotopía $H: X \times I \to Y$ es una función continua tal que $H(x,0) = f(x)$ y $H(x,1) = g(x)$ para todo $x\in X$. ¿Cuál es la diferencia entre esto y lo que has mencionado? Tu condición no es suficiente para garantizar que obtenemos un mapa continuo. Es cierto que se puede fijar un punto y variar $t$ para obtener un camino.

Entonces, ¿por qué el mapa identidad no es nulo-homotópico? Se puede mostrar que si el mapa identidad en un espacio es nulo-homotópico entonces el espacio es contractible, $S^1$ no es contractible, así que aquí tienes tu contradicción. No estoy seguro de una manera fácil de verlo sin este lema. Se podría considerar que si $f: S^1 \to S^1$ es nulo-homotópico entonces existe $\bar{f}: D^2 \to S^1$ que restringido a $S^1$ es $f$, pero esto da una retracción de $D^2$ sobre su frontera. Sin embargo, esto utiliza los grupos fundamentales de $S^1$ y $D^2$.