Norma para funciones lineales continuas, preguntas de novato

Question

Dejemos que $E$ sea un espacio vectorial normado y sea $f\colon E \to \mathbb{R}$ sea una función lineal continua. Definir la norma dual de $f$ como

$$\|f\| = \sup_{\|x\|\leq 1} |f(x)|.$$

Primera pregunta. Tengo que demostrar que el supremum definido es el mismo que encontraríamos en la esfera unitaria $\|x\|=1$ . Arreglé un $x$ en la esfera y consideró el segmento $tx$ con $t \in [0,1]$ . Así que $|f(tx)|=t|f(x)|$ y los valores aumentan desde $0$ (en el que $f$ es $0$ ) a $1$ repitiendo para todos $x$ y observando que $f$ tiene el máximo en la esfera, obtenemos el resultado. Espero que sea correcto.

Segunda pregunta. Ahora tengo que demostrar que

$$\|f\| = \sup_{\|x\|\leq 1} |f(x)| = \|f\| = \sup_{\|x\|\leq 1} f(x).$$ No sé cómo eliminar el módulo, ¿alguna idea?

Answer 1

Su argumento para la primera pregunta es esencialmente correcto.

Si $0 \lt \|x\| \lt 1$ entonces escoge $\lambda = \frac{1}{\|x\|} \gt 1$ y observar que $\|\lambda x\| = 1$ . Pero $|f(\lambda x)| = |\lambda| \,|f(x)| \geq |f(x)|$ con desigualdad estricta si $|f(x)| \neq 0$ . Así, el supremum en la bola unitaria cerrada se alcanzará en la esfera unitaria.

Un detalle importante:

Es no es cierto que el supremum es un máximo (1) en la esfera de la unidad a menos que $E$ es de dimensión finita (porque entonces la esfera unitaria es compacta) o, más generalmente, reflexivo (2) .

Como Nate te dio una gran pista que debería llevarte al objetivo de la segunda pregunta, no discutiré más esta parte de tu pregunta a menos que me lo pidas.

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(1) Para un ejemplo concreto en el que la norma de un funcional es un sumo pero no un máximo, un ejemplo estándar es tomar $E = C[0,1]$ (el espacio de las funciones continuas sobre $[0,1]$ con la norma del sumo) y considerar la integral funcional $$\varphi: h \mapsto \int_{0}^{1/2} h(t)\,dt - \int_{1/2}^1 h(t)\,dt.$$ No es difícil demostrar que $\varphi$ es una función de norma  $1$ y que para toda función continua con supremacía $\leq 1$ tenemos $|\varphi(h)| \lt 1$ : Intuitivamente, esto se debe a que una función debe ser constante igual a $\pm 1$ en $[0,1/2]$ y $[1/2,1]$ (con signos opuestos) para maximizar $|\varphi(h)|$ Sin embargo, una función continua se verá obligada a asumir todos los valores en $(-1,1)$ lo que conducirá a la desigualdad estricta  $|\varphi(h)| \lt 1$ . Para más detalles y algunas observaciones al respecto, puede consultar esta respuesta detallada o este hilo .

(2) Es posible demostrar (utilizando alguna maquinaria analítica funcional) que en los espacios reflexivos el supremum es efectivamente un máximo. Es un teorema profundo debido a James que la inversa se mantiene: un espacio de Banach es reflexivo si y sólo si todo funcional lineal alcanza su máximo en la bola unitaria cerrada.