La prueba de que el Período de $\sin(x)$$2\pi$.

Question

Como yo estaba caminando por el campus el día de hoy, tuve una interesante pregunta pop en mi cabeza: ¿Cómo podemos demostrar que el período de $\tan(x)$ $\pi$ en lugar de $2\pi$? La respuesta a esto era muy sencillo: se comienza con $$\tan(x) = \tan(x + T) = {\tan(x) + \tan(T) \over 1 - \tan(x) \tan(T)}$$ to give us $$-\tan^2(x)\tan(T) = \tan(T)$$ $$0 = \tan(T) + \tan^2(x)\tan(T)$$ $$0 = \tan(T)[1 + \tan^2(x)]$$ $$\implies \tan(T) = 0\;\;\;\;\;\text{and}\;\;\;\;1 + \tan^2(x) = 0 \implies \text{No real solution for any $x\in\mathbb{R}$}$$ Which for $\tan(T) = 0 \implica {\sin(T) \\cos(T)} = 0 \implica \sin(T) = 0$, we have $T = 0, \pi \implica T = \pi$ to show that the period of $\tan(x)$ is $\pi$ si deseamos un trivial respuesta.

Pero me quedé atrapado tratando de hacer lo mismo con $\sin(x)$. He intentado:

$$\sin(x) = \sin(x + T) = \sin(x)\cos(T) + \sin(T)\cos(x)$$ $$\implies \sin(x)[1 - \cos(T)] = \sin(T)\cos(x)$$ $$\implies \tan(x) = {\sin(T) \over 1 - \cos(T)}$$

Pero me quedé atrapado aquí. No estoy seguro de cómo aislar una sola función trigonométrica en términos de $T$.

Busqué en Google esta prueba, pero todo el mundo usa Taylor Expansiones, Euler Fórmula o cálculo. Pero estoy en busca de un argumento podría presentar a alguien con conocimientos de trigonometría y no más. Alguna idea?

Answer 1

Si $T$ es tal que para todos los $x\in \mathbb{R}$ tenemos $\sin(x+T) =\sin(x)$, luego, en particular, el establecimiento de $x=0$, tenemos

$$\sin T =0$$

Por lo $T=k\pi$$k \in \mathbb{Z}$. Para concluir, tenemos que comprobar que el $\sin(x+2\pi) =\sin(x)$ utilizando la fórmula de arriba (y eso $\pi$ no es un período, conectando $x=-\pi/2$ por ejemplo).

Answer 2

El uso de la suma de las fórmulas de $$\sin(x+T)=\sin x \cos T+\cos x\sin T$$ and the fact that $\el pecado (2\pi)=0$ and $\cos (2\pi)=1$ gives you a period of $2\pi$. Conversely is $\sin (x+T)=\sin x$ for all $x$ then $\sen T=0$ so $T=k\pi$ and one can easily see that $k$ debe ser par.

Answer 3

Si $\sin(x+T)=\sin x,$ usando Prosthaphaeresis Fórmula,

$$2\sin\dfrac T2\cos\left(x+\dfrac T2\right)=0$$ as $\cos\left(x+\dfrac T2\right)$ is dependent on $x$

$\cos\left(x+\dfrac T2\right)=0$ no le dan un valor constante de $T$

Por lo tanto, tenemos $\sin\dfrac T2=0\iff\dfrac T2=n\pi$ donde $n$ es cualquier entero

$\implies T=?$