Solución analítica del modelo Gross-Neveu

Question

Necesito encontrar una solución analítica vía expansión asintótica para el siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{align} & i(u_t+u_x) + v = 0 \\ & i(v_t-v_x) + u = 0 \end{align}$$

$$\begin{equation} u(x,0) = Ae^{-x^2} \hspace{0.1 in} v(x,0) = -Ae^{-x^2} \end{equation}$$

Los desacoplé $$\begin{align} & v_{tt}-v_{xx} + v = 0\\ & u_{tt}-u_{xx} + u = 0 \end{align}$$

Escribió las soluciones en términos de series de Fourier

$$\begin{align} & u(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty}U(k,t)e^{-ikx}dk\\ & v(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty}V(k,t)e^{-ikx}dk \end{align}$$

Llegamos a la siguiente ecuación diferencial $$\begin{align} & V_{tt} + V(1+k^2) = 0\\ & U_{tt} + U(1+k^2) = 0 \end{align}$$

encontrar las condiciones iniciales para las derivadas utilizando las ecuaciones originales y las condiciones iniciales $$\begin{align} u_t(x,0) = Ae^{-x^2}(2x-i) \hspace{0.2 in} v_t(x,0) = Ae^{-x^2}(2x+i) \end{align}$$ Ahora tengo que resolver

$$\begin{align} & u(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty}\left[\left[\frac{-iAe^{-\frac{k^2}{4}}\sqrt{1+k^2}}{2k\sqrt{\pi}}\left[k -1\right]\right]\text{sin}\left(\sqrt{1+k^2}t\right) + \left[\frac{Ae^{-\frac{k^2}{4}}}{2\sqrt{\pi}}\right]\text{cos}\left(\sqrt{1+k^2}t\right)\right]e^{-ikx}dk \notag\\ & v(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty}\left[\left[\frac{iAe^{-\frac{k^2}{4}}\sqrt{1+k^2}}{2k\sqrt{\pi}}\left[k +1\right]\right]\text{sin}\left(\sqrt{1+k^2}t\right) + \left[\frac{-Ae^{-\frac{k^2}{4}}}{2\sqrt{\pi}}\right]\text{cos}\left(\sqrt{1+k^2}t\right)\right]e^{-ikx}dk \notag \end{align}$$

He cambiado los pecados y cosenos a sus formas exponenciales y he intentado utilizar el método de la fase estacionaria para encontrar una solución. Sin embargo mi solución sólo contribuye a x = 0. ¿Alguna idea de cómo podría encontrar la expansión asintótica de esto?

Necesito encontrar en última instancia el comportamiento en t grande de esta integral:

$$\begin{equation} I = \int_{-\infty}^{\infty}F(k)e^{i\sqrt{1+k^2}t-ikx}dk \end{equation}$$

Excepto que el único punto de la fase estacionaria está en k = 0, lo que elimina la dependencia de x.

Answer 1

Me pregunto si puede haber un error en su derivación. Bien, has desacoplado las ecuaciones. Entonces podrías considerar una expansión de Fourier bidimensional de $v$ en exponentes, digamos, $\exp(i(\omega t +k x))$ . Entonces la relación de dispersión (lo que se obtiene al sustituir los exponentes en la ecuación diferencial lineal para $v$ ) sería $-\omega^2+k^2+1=0$ Así que $\omega=\sqrt{k^2+1}$ , mientras que tú obtienes $\omega=\sqrt{-k^2+1}$ .

Answer 2

Te estás complicando la vida más de lo necesario. Voy a esbozar la solución para usted.

Usted ya sabe que $$U = U_0(k) e^{-\imath\sqrt{1+k^2}t}$$ y lo mismo para $V$ . A continuación, introdúzcalo en la expresión para $u(x,t)$ , y establecer $t=0$ . Usted obtiene $$u(x,0) = e^{-x^2} = \int U_0(k) e^{-\imath k x } d\!x$$ que le da inmediatamente $U_0(k) = \alpha e^{-q k^2}$ para algún valor de $\alpha$ y $q$ que tú determinarás. En este punto, puede obtener la solución general como una integral cerrada, $$u(x,t) = \int \alpha e^{-q k^2} e^{-\imath\sqrt{1+k^2} t} e^{-\imath k x} d\!x$$ que puedes calcular con Mathematica, buscarlo en Gradshteyn y Rhyzik, o calcularlo con el método del punto de equilibrio para $x\rightarrow+\infty$ .