Si $f(x)$ está cerca de $0$ entonces necesariamente $x$ está cerca de $\ker f$ ?

Question

Supongamos que $X$ es un espacio de Banach real y $f:X \to \mathbb{R}$ es una función lineal continua. ¿Es cierto que para cualquier $\varepsilon>0$ hay un $\delta>0$ tal que para cualquier $x \in X$ que tenemos: $$|f(x)|<\delta \Rightarrow (\exists z \in \ker f) (\Vert x-z \Vert <\varepsilon).$$

Esto es ciertamente cierto si $X=\mathbb{R}^n$ . Sospecho que esto puede ser falso para la dimensión infinita $X$ pero no he podido encontrar un contraejemplo.

Gracias.

Answer 1

Si $f$ es idéntico $0$ no hay nada que mostrar. De lo contrario, elija $x_0$ tal que $f(x_0)\neq 0$ y escribir $x$ como $$x=x-\frac{f(x)}{f(x_0)}x_0+\frac{f(x)}{f(x_0)}x_0.$$ Si definimos $z(x):=x-\frac{f(x)}{f(x_0)}x_0$ entonces $z\in\ker f$ y $\lVert x-z(x)\rVert=\frac{|f(x)|}{|f(x_0)]}\lVert x_0\rVert$ Por lo tanto $\delta:=\frac{\varepsilon}{\lVert x_0\rVert}|f(x_0)|$ hace el trabajo.