Función de distribución del máximo de n iid variables aleatorias uniformes estándar donde n es poisson distribuido

Question

Estoy estudiando la teoría de la probabilidad por mi cuenta y estoy tratando de resolver el siguiente problema en el libro - Deje $X_1, X_2, . . .$ ser independiente, $U(0, 1)$-distribuido variables aleatorias, y deje $Nm \in Po(m)$ ser independiente de $X_1, X_2, . . . .$ Set $V_m = max\{X_1, . . . ,X_{Nm}\} (Vm = 0 \ when\ Nm = 0)$. Determinar

(a) la función de distribución de $V_m$,

(b) el momento de generación de la función de $V_m$.

(c) Mostrar que el$E[Vm] \to 1$$m \to \infty$.

(d) Muestran que $m(1 − Vm)$ converge en distribución como $m \to \infty$, y determinar el límite de distribución.

Tengo perplejo en la primera parte cuando se intenta encontrar la función de distribución de $V_m$. Sé que la CDF de $X$ está dado por -

$F_X(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 1 & x > 1 \end{cases}$

Esto implica que la CDF de $V_m$ debe ser dada por

$F_{V_m}(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x^n, & 0 \leq x \leq 1 \\ 1 & x > 1 \end{cases}$ donde $n \in Po(m)$

A continuación, diferenciando $F_{V_m}(x)$, podemos obtener la función de densidad de $f_{V_m} = nx^{n-1}$. A continuación, el uso de la probabilidad condicional, queremos encontrar la CDF de $V_m$ e hice lo siguiente para llegar allí - $P(V_m = x) = \sum_{n=0}^{\infty} P(V_m = x|N_m=n) . f_N(n) = \sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} e^{-m} \frac{m^n}{n!} = me^{m(x-1)}$

El problema es cuando trato de integrar esta sobre x de 0 a 1,la respuesta no es 1, lo que implica que este podría no ser el correcto pdf y, por tanto, la integración de esta no me dan el CDF correcto. Por cierto, cuando la integración de este en 1 a x, I se $ e^{m(x-1)} - e^{-m}$ que no es la respuesta correcta.

No estoy seguro de si he cometido un gran error en mi comprensión de algo o una pequeña metedura de pata. He mirado en mis cálculos un par de veces para asegurarse de que no he hecho ningún tonto error. Creo que una vez que estoy allá de esta primera parte, yo debería ser capaz de llegar al descanso. Yo le agradezco mucho cualquier ayuda, ya que siento que esto es esencial para que yo lo entienda antes de proseguir con mi curso. Gracias a cualquiera que ande

Answer 1

Los cálculos en la pregunta correcta, pero el cuidado es necesario debido a que la distribución de $V_\mu$ no es continua. (Voy a utilizar $\mu$ en lugar de $m$ a lo largo.)

Desde las primeras definiciones que podemos encontrar la función de distribución (CDF) de $V_\mu$ es

$$F_\mu(x) = \Pr(V_\mu) \le x) = \sum_{n=0}^\infty x^n \Pr(N_\mu = n) = e^{\mu(x-1)}$$

siempre $0 \le x \le 1$. Para $x \gt 1$, $F_\mu(x) = 1$ por supuesto. Pero para $x \lt 0$, necesariamente,$F_\mu(x) = 0$. Aquí está su gráfica al$\mu=1$, lo que muestra el salto a $x=0$:

El momento de generación de función, $\phi_\mu(t) = \mathbb{E}(\exp(t V_\mu))$, debe ser calculada con el mismo cuidado cerca de cero. Puede ser obtenido como un Lebesgue-Stieltjes integral,

$$\phi_\mu(t) = \int_\mathbb{R} e^{t x} dF_{\mu}(x)$$

a través de la integración por partes como

$$\phi_\mu(t) = e^{t x} F_\mu(x) \vert_{-\infty}^1 - \int_0^1 t e^{t x} e^{\mu(x-1)}dx = e^t - t\frac{e^t - e^{-\mu}}{t+\mu}.$$

Como un cheque, su comienza la serie de McLaurin

$$\phi_\mu(t) = 1 + \left(\frac{\mu-1+e^{-\mu}}{\mu}\right) t + \left(\frac{\mu^2 - 2\mu + 2 - 2e^{-\mu}}{\mu^2}\right)t^2/2 + \cdots$$

El término constante de $1$ muestra el total de probabilidad de masa es $1$. Los próximos dos términos será útil para abordar el resto de las preguntas.

Answer 2

Tenga en cuenta que ya que esta continua que desea encontrar CDF así que va fuera de lo que tenía que tenemos$$P(V_{m}<x)=\sum_{n=0}^{\infty}P(V_{m}<x|N_{m}=n)f_{N}(n)=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-m}\frac{(xm)^{n}}{n!}=e^{-m}e^{xm}=e^{m(x-1)}$ $