Prueba de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^3}\frac{\sinh\pi n\sqrt2-\sin\pi n\sqrt2}{{\cosh\pi n\sqrt2}-\cos\pi n\sqrt2}=\frac{\pi^3}{18\sqrt2}$

Question

Demostrar que

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sinh\big(\pi n\sqrt2\big)-\sin\big(\pi n\sqrt2\big)}{n^3\Big({\cosh\big(\pi n\sqrt2}\big)-\cos\big(\pi n\sqrt2\big)\Big)}=\frac{\pi^3}{18\sqrt2}$$

No tengo ni idea de cómo empezar.

Answer 1

1. Es un simple ejercicio trigonométrico para demostrar que $$\frac{\sinh\pi n\sqrt2 -\sin\pi n\sqrt2}{\cosh\pi n\sqrt2 -\cos\pi n\sqrt2}= \Re \left(\coth \pi n z_0+z_0^2\coth\frac{\pi n}{z_0}\right),\tag{$\spadesuit$}$$ con $z_0=e^{i\pi/4}$ .

2. Recordemos la identidad de Ramanujan (de la que se pueden encontrar varias buenas pruebas aquí ): $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\left(\coth \pi n x+x^2\coth\frac{\pi n}{x}\right)= \frac{\pi^3}{90x}\left(x^4+5x^2+1\right).\tag{$\heartsuit$}$$

3. La combinación ( $\spadesuit$ ) y ( $\heartsuit$ ), obtenemos inmediatamente $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^3}\left(\frac{\sinh\pi n\sqrt2 -\sin\pi n\sqrt2}{\cosh\pi n\sqrt2 -\cos\pi n\sqrt2}\right)=\frac{\pi^3}{90}\,\Re\frac{z_0^4+5z_0^2+1}{z_0}=\frac{\pi^3}{18\sqrt2}.$$