Estructura de álgebra del producto tensor de dos extensiones de Galois

Question

Lo siento si esta pregunta es muy básica. Es a partir de Fröhlich y Taylor "la Teoría Algebraica de números".

Deje $E/F$ ser un finita de Galois de la extensión de los campos, con $G=Gal(E/F)$, y deje $K$ $L$ dos subcampos de $E$, conteniendo $F$, de tal manera que $K/F$ $L/F$ son tanto de Galois. Deje $M=Gal(E/K)$ $N=Gal(E/L)$ ser normal subgrupos de $G$. Supongamos ${\gamma_1,\ldots,\gamma_n}$ es una transversal de $MN$$G$,$n=[G:MN]$. Si $C$ es el compositum $KL$$E$, ¿cómo puedo mostrar en el mapa $$ k\otimes l\mapsto (k^{\gamma_1}l,\ldots,k^{\gamma_n}l) $$

induce un isomorfismo entre el$K\otimes_F L$$\prod_{i=1}^n C$?

Es claro para mí que este mapa es una $F$-álgebra homomorphism, y que ambos tienen la misma dimensión en el $F$. Por lo tanto surjectivity, o inyectividad, sería suficiente. No he sido capaz de averiguar lo que el idempotents de $\prod_{i=1}^n C$ debe ser como en la $K\otimes_F L$, por lo que no he sido capaz de mostrar surjectivity. Mientras tanto, creo que la inyectividad debería ser más fácil de mostrar, porque si tenemos $$ k_1\otimes l_1 + \cdots + k_m\otimes l_m\mapsto 0,$$ a continuación, obtenemos un sistema de ecuaciones $$ k_1l_1 + \cdots + k_ml_m=0$$ $$ \cdots$$ $$ k_1^{\gamma_n}l_1 + \cdots k_m^{\gamma_n}l_m=0.$$ Resumiendo las columnas, me sale $$ \sum_{i=1}^m(\sum_{j=1}^n k_i^{\gamma_j})l_i=0 $$ y todo esto está ocurriendo en $L$. Pero me parece que no puede terminar este argumento. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Para ampliar sobre Sam es impresionante comentario:

Podemos escribir $K$$F(\alpha)$, donde el polinomio mínimo de a$\alpha$$f(x)$. A continuación, tenemos un mapa de $L[x]$ $K\otimes_F L$dada por $$ a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\mapsto 1\otimes a_0 + \alpha\otimes a_1+\cdots + \alpha^n\otimes a_n.$$ Esto induce un isomorfismo entre el$L[x]/fL[x]$$K\otimes_F L$. Componiendo con el mapa que he dado anteriormente, entonces queremos mostrar en el mapa $$ a(x)\mapsto (a(\alpha^{\gamma_1}),\ldots,a(\alpha^{\gamma_n}))$$ de$L[x]$$\prod_{i=1}^n C$, es surjective.

Conjunto $$ f_i=\prod_{n\in N} (x-\alpha^{\gamma_in});$$ este es un polinomio en a $L[x]$; ahora vamos a $$ g_i=\prod_{j\neq i} f_j; $$ a continuación, $g_i$ mapas a $(0,\ldots,g_i(\alpha^{\gamma_i}),0,\ldots)$. Desde $g_i(\alpha^{\gamma_i})$ es un elemento no nulo de a $K$, podemos escribir $g_i(\alpha^{\gamma_i})^{-1}=h_i(\alpha^{\gamma_i})$, y por lo $g_ih_i$ mapas a $(0,\ldots,1,\ldots)$, donde el $1$ $i$º lugar. Desde $C=L(\alpha)$, este mapa es surjective.