Resolver

Question

Necesito resolver el límite$$\lim_{x \rightarrow 0} (a^x + b^x - c^x)^\frac{1}{x}$ $ cuando$a,b,c \gt 0$. Estoy buscando maneras de evitar$\frac{1}{x}$ power.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \lim_{x \rightarrow 0} (a^x + b^x - c^x)^\frac{1}{x} =\lim_{x \rightarrow 0}\,e^{\left(\displaystyle\frac1x \log(a^x+b^x-c^x)\right)}. $$ Tan sólo necesitamos calcular $$ \lim_{x \rightarrow 0}\frac1x \log(a^x+b^x-c^x). $$ Puesto que la expresión dentro del registro va a$1$$x\to0$, podemos aplicar L'Hôpital, para obtener $$ \lim_{x \rightarrow 0}\frac1x \log(a^x+b^x-c^x) =\lim_{x\to0}\frac{a^x\,\log a+ b^x\,\log b-c^x\,\log c}{a^x+b^x-c^x} =\log a+ \log b-\log c. $$ Entonces $$ \lim_{x \rightarrow 0} (a^x + b^x - c^x)^\frac{1}{x}=e^{\log a+ \log b-\log c}=\frac{ab}c $$

Añadido: según lo sugerido por Aryabhata, permanece para justificar que uno puede aplicar L'Hôpital. Para aplicar la regla, necesitamos tener un cociente $f(x)/g(x)$, con $f$ $g$ diferenciable en a$0$, $g'(x)\ne0$ en un barrio de $0$, de tal manera que $f(0)=g(0)=0$ (a menos que se necesita, de hecho, sólo que van a $0$) y tal que $\lim_{x\to0}f'(x)/g'(x)$ existe (que es igual a $ab/c$ en este caso). Aquí $f(x)=\log(a^x+b^x-c^x)$, $g(x)=x$. La función de $x\mapsto a^x+b^x-c^x$ es diferenciable en todas partes; por $x$ cerca de $0$, los valores de esta función aproximada de la $1$; en cualquier barrio de $1$ que no contiene $0$, $\log$ es diferenciable, y entonces también lo es la composición,$f(x)=\log(a^x+b^x-c^x)$. Y $g'(x)=1\ne0$ todos los $x$.

Answer 2

Otra pista: Let$f(x) = \log (a^x + b^x - c^x)$

Que es $f(0)$?

Que es $f'(0)$? (La derivada en$0$).

Answer 3

DICHA : $$ \ left (a ^ x b ^ x - c ^ x \ derecha) \ frac {1} {x} = a \ ) ^ X - \ left (\ frac {c} {a} \ derecha) ^ x \ derecha \ frac {1} {x} = a \ {X} {x}} {x} {x} {x} {x} {x} #%, Luego use el límite dorado$\lim_{x \to 0} \frac{\left(\frac{b}{a}\right)^x - \left(\frac{c}{a}\right)^x}{x}$.

Answer 4

Donde comienza es darse cuenta de que$1^\infty$ es una forma indeterminada, así que puedes usar la regla de L'hopital después de reescribirla como,

ps

Answer 5

Si desea evitar L'Hôpital: Escribir$(a^x + b^x - c^x)^{1 \over x}$ as$a(1 + ({b \over a})^x - ({c \over a})^x)^{1 \over x}$, de modo que basta con encontrar$$\lim_{x \rightarrow 0} (1 +({b \over a})^x - ({c \over a})^x)^{1 \over x}$ $ Tomando registros, basta encontrar$$\lim_{x \rightarrow 0} {\ln(1 +({b \over a})^x - ({c \over a})^x) \over x}$ $$$=\lim_{x \rightarrow 0} {\ln(1 +({b \over a})^x - ({c \over a})^x) - \ln(1 +({b \over a})^0 - ({c \over a})^0) \over x - 0}$ $ Este es el cociente de diferencia para la derivada de$\ln(1 +({b \over a})^x - ({c \over a})^x)$ at$x = 0$. Utilizando la regla de cadena para encontrar esta derivada y conectar$x = 0$ le da$\ln(b/a) - \ln(c/a) = \ln(b/c)$. Al retroceder, el límite original es${\displaystyle ae^{\ln(b/c)} = {ab \over c}}$.