Demostrando que $19\mid 5^{2n+1}+3^{n+2} \cdot 2^{n-1}$

Question

¿Cómo puedo probar que$$5^{2n+1}+3^{n+2} \cdot 2^{n-1} $ $ se puede dividir por 19 para cualquier n no negativo? ¿Qué módulo debo elegir?

Answer 1

$$ \begin{align} 5^{2n+1}+3^{n+2}2^{n-1} &=125\cdot25^{n-1}+27\cdot6^{n-1}\\ &\equiv11\cdot6^{n-1}+8\cdot6^{n-1}\pmod{19}\\ &=19\cdot6^{n-1} \end {align} $$

Answer 2

$5^{2n+1} = 5 \times 25^n \equiv 5 \times 6^n$ (Módulo 19). Por lo tanto, tenemos$5^{2n+1} + 3^{n+2}\times2^{n-1} \equiv 6^{n-1} \times (30 + 27) = 6^{n-1}\times3\times 19$ (módulo 19)

Answer 3

Usted puede comprobar esto por inducción.

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En primer lugar, demostrar que esto es cierto para $n=1$:

$5^{2\cdot1+1}+3^{1+2}\cdot2^{1-1}=19\cdot8$

Segundo, se supone que esto es cierto para $n$:

$5^{2n+1}+3^{n+2}\cdot2^{n-1}=19k$

Tercero, demostrar que esto es cierto para $n+1$:

$5^{2(n+1)+1}+3^{n+1+2}\cdot2^{n+1-1}=$

$5^{2+2n+1}+3^{1+n+2}\cdot2^{1+n-1}=$

$5^{2}\cdot5^{2n+1}+3^{1}\cdot3^{n+2}\cdot2^{1}\cdot2^{n-1}=$

$5^{2}\cdot5^{2n+1}+3^{1}\cdot2^{1}\cdot3^{n+2}\cdot2^{n-1}=$

$25\cdot5^{2n+1}+\color\green{6}\cdot3^{n+2}\cdot2^{n-1}=$

$25\cdot5^{2n+1}+(\color\green{25-19})\cdot3^{n+2}\cdot2^{n-1}=$

$25\cdot5^{2n+1}+25\cdot3^{n+2}\cdot2^{n-1}-19\cdot3^{n+2}\cdot2^{n-1}=$

$25\cdot(\color\red{5^{2n+1}+3^{n+2}\cdot2^{n-1}})-19\cdot3^{n+2}\cdot2^{n-1}=$

$25\cdot\color\red{19k}-19\cdot3^{n+2}\cdot2^{n-1}=$

$19\cdot25k-19\cdot3^{n+2}\cdot2^{n-1}=$

$19\cdot(25k-3^{n+2}\cdot2^{n-1})$

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Por favor, tenga en cuenta que la hipótesis se utiliza sólo en la parte marcada con rojo.

Answer 4

Denote$\mathcal{P}(n)$ la afirmación de que$5^{2n+1} + 3^{n+2}\cdot 2^{n-1}$ es divisible por$19$. Puede comprobar si$\mathcal{P}(1)$ es verdadero. Una configuración para la prueba de$\mathcal{P}(n+1)$:

\begin{align} 5^{2(n+1)+1} + 3^{(n+1)+2}\cdot 2^{(n+1)-1} & = \\ 25 \times 5^{2n+1} + 6 \times 3^{n+2}\cdot 2^{n-1} & = \\ 19 \times 5^{2n+1} + 6 \times 5^{2n+1} + 6 \times 3^{n+2}\cdot 2^{n-1} & = \cdots \end {align} ¿Puedes terminar la prueba desde aquí?

Answer 5

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org Por lo tanto:

$2^{n-1} = \frac12 2^n \equiv 10 \cdot 2^n \pmod {19}$